1、山西省长治市第二中学校2019-2020学年高二数学下学期摸底考试试题 理【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】第卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合，则 ()A B C D2已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知数列是等差数列，记数列的前项和为，若，则()ABCD 4近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路”沿线国
2、家的游客人次情况，则下列说法正确的是()2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加2013-2018年这6年中，2016年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平 A B C D5若双曲线的一条渐近线为，则实数（ ）A B C D6已知函数，则关于函数的说法不正确的是()A在上是增函数 B定义域为 C值域为 D只有一个零点7六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A 192种 B216种 C240种 D288种8若函数的导函数满足，则()ABCD
3、9展开式中的常数项是() AB C D10已知中， 则，类比上述结论，可推测：在三棱锥中，若两两垂直，设，, ,则 ()ABCD11如图，在直三棱柱中，,分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ()A B C D12已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是 ()ABCD第卷（非选择题 90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，则曲线在处的切线方程为_.14若，则_.（用数字作答）152020年在抗击新型冠状病毒期间，武汉市在汉阳、江岸、硚口、洪山、武汉开发区等城区修建了方舱医院，专门收治新型冠状病毒肺炎感染的轻症患者.现将
4、6名志愿者分配到汉阳、江岸、硚口这3个城区去负责药品的分发工作，若每个城区，至少有一名志愿者，则不同的分配方法有_种.（用数字作答）16在三棱锥中，底面是直角三角形且，斜边上的高为三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为_三、解答题：本大题共6小题,共70分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17(10分)已知中，角的对边分别为，（1）求角的大小；（2）若，求的面积18(12分) 如图所示，在三棱锥中，平面,，分别为线段上的点，且，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值19(12分) 已知，函数（,为自然对数的底数）（1）当时，求函数f(x)的单调递增区间
5、；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围20(12分)在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为， 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）若点是上的动点，点是上的动点，求的最小值及此时点的直角坐标。21(12分) 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，分别为椭圆的左、右顶点，且（1）求椭圆的方程；（2）已知过左顶点的直线与椭圆另交于点，与轴交于点，在平面内是否存在一定点，使得恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求面积的最大值；若不存在，说明理由。22(12分)已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）若存在两个极值点，证明：
6、 。数学试题答案（理科）15 CBDAC 610 CBADD 1112 CB13. 14. 156815. 540 16. 17.解：（1）；（2）【解析】（1），由正弦定理可得，即，又，即5分（2）由余弦定理可得，又，的面积为10分18解（）由平面，平面，故。由，得为等腰直角三角形，故。由，垂直于平面内两条相交直线，故平面。5分（）由（）知，为等腰直角三角形，。过作垂直于，易知，又已知，故。由得，故。以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，。设平面的法向量为，由，得故可取。8分由（）可知平面，故平面的法向量可取为，即。10分从而法向量，的夹角的余弦值为，故所求
7、二面角的余弦值为。12分19. 解：（1）当时，所以令，即，因为，所以，解得，所以函数的单调递增区间是5分(2)因为函数在上单调递增，所以对都成立7分因为， 所以对都成立因为，所以对都成立，即 对都成立令，则.所以在上单调递增，所以即，因此的取值范围为.12分20. 解：（1）由 ，可得曲线的普通方程为：；由得普通方程为：.6分（2）由题设可知，则 ，其中，当且仅当，时，10分此时点的坐标为 . 12分21. 解：（1）由题知，所以椭圆方程为：； 4分（2）设直线，由 消得： 因为直线与椭圆相交于两点，所以，6分，设，所以，8分即，即，10分所以存在.此时， 当且仅当即时取等号. 12分22. 解：（1）由题知函数的定义域为, ，1分令，当时，恒成立，所以的单调递增区间为；.3分当时，方程有两根，其中 ，所以，当，时，所以的单调递增区间为，；当时，所以的单调递减区间为，.5分综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为.6分（2）证明：由（1）知，当，存在两个极值点，在上单调递减，且，已知，且，8分 因为所以上式，又因为，所以，所以，即.12分
