1、6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1理解两向量共线的含义，并能用共线向量基本定理解决简单的几何问题(重点)2知道平面向量基本定理的含义和基底的含义3会用平面向量基本定理，用基底表示向量(难点)1通过共线向量基本定理的学习，培养数学运算和逻辑推理素养2借助平面向量基本定理的学习与应用， 提升数学运算及逻辑推理核心素养.通过上节课学习，我们知道可用结论“当存在实数，使得ba时，ba”判定两向量平行对这个结论，思考下面的问题问题：(1)若实数不存在，ba在什么条件下成立？(2)若实数存在且唯一，ab在什么条件下成立？(3)若实数存在且不唯一，
2、ab在什么条件下成立？提示(1)a0，b0.(2)a0.(3)a0且b0.知识点1共线向量基本定理1共线向量基本定理如果a0且ba，则存在唯一的实数，使得ba.在共线向量基本定理中：(1)ba时，通常称为b能用a表示(2)其中的“唯一”指的是，如果还有ba，则有.1在共线向量基本定理中，为什么要求a0?提示若a0，则0b，但是00，从而ba中的实数具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数，使得ba.2三点共线如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是存在实数，使得.1若k1ak2b0，则k1k20，那么下面对a，b的判断正确的是()Aa与b一定共线Ba与b一定不共线Ca与b一定垂直D
3、a与b中至少有一个为0B由平面向量基本定理，可知当a，b不共线时，k1k20，故选B2.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2(kR)与向量ne22e1共线，则k()A0B1 C2DD当k时，me1e2，n2e1e2.n2m，此时，m，n共线知识点2平面向量基本定理1平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得cxayb.2基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合a，b，常称为该平面上向量的一组基底，如果cxayb，则称xayb为c在基底a，b下的分解式2.设e1，e2是平面向量的一组基底，则e1，e2中可能有零向量
4、吗？平面向量的基底唯一吗？提示平面向量基本定理的前提条件是e1，e2不共线，若e1，e2中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故e1，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们不共线3.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底()(2)0能与另外一个向量a构成基底()(3)平面向量的基底不是唯一的()提示平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的(1)，(3)正确答案(1)(2)(3)4.如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为()Ae1e2B2e1e2
5、C2e1e2D2e1e2Ba2e1e2. 类型1共线向量基本定理的应用【例1】(对接教材P155例3)已知向量m，n是不共线向量，a3m2n，b6m4n，cmxn.(1)判断a，b是否平行；(2)若ac，求x的值解(1)显然a为非零向量，若ab，则存在实数，使得ba，即6m4n(3m2n)，不存在a与b不平行(2)ac，存在实数r，使得cra.mxnr(3m2n)x.利用共线向量基本定理可解决哪两类向量问题？提示(1)判定向量平行(先假设平行，用基本定理列方程，根据1e11e22e12e2，其中e1，e2不共线，列实数方程组，求解)；(2)已知向量求参数1已知非零向量e1，e2不共线(1)如果
6、e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值解(1)证明：因为e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，所以，共线，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)要使ke1e2与e1ke2共线，则存在实数，使ke1e2(e1ke2)，即(k)e1(k1)e2.由于e1与e2不共线，故所以k1 类型2用基底表示向量【例2】已知梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设a，b，试以a，b为基底表示，.思路探究和是两个不共线向量，于是可以看作一组基底，那么平面中的任一向量可以用和来表示，
7、关键是利用向量线性运算确定系数解如图所示，连接FD，DCAB，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，DC FB四边形DCBF为平行四边形b，ab，bba.平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量2如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若a，b，则_，_.(用a，b表示)abab()ab.()ab. 类型3平面向量基本定理的综合应用1
8、在向量等式xy中，若xy1，则三点P，A，B具有什么样的位置关系？提示三点P，A，B在同一直线上在向量等式xy中，若xy1，则P，A，B三点共线；若P，A，B三点共线，则xy12平面向量基本定理的实质是什么？提示平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行分解【例3】平面内有一个ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设a，b，c.(1)试用a，b，c表示向量，；(2)求证：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分思路探究本题主要考查平面向量基本定理及应用(1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量，；(2)要证三条线段交
9、于一点，且互相平分，可考虑证明O点到三条线段中点的向量相等解(1)由题意得a，(bc)，(bca)同理：(acb)，(abc)(2)证明：设线段EL的中点为P1，则()(abc)设FM，GN的中点分别为P2，P3，同理可求得(abc)，(abc)，即EL，FM，GN交于一点，且互相平分1任意一向量基底表示的唯一性的理解条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a1e11e2且a2e12e2结论2.任意一向量基底表示的唯一性的应用平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：(1)直接利
10、用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解3如图所示，在OAB中，a，b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求. 解()ab.因为与共线，故可设tab.又与共线，可设s，ss()(1s)asb，所以解得所以ab.1如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是()A若实数1，2，使1e12e20，则120B平面内任一向量a都可以表示为a1e12e2，其中1，2RC1e12e2不一定在平面内，1，2RD对于平面内任意一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对A
11、考查平面向量基本定理因为e1，e2不共线，所以1e12e20，只能120.B选项1，2R不对，应该是唯一数对；C选项1e12e2一定在平面内；D选项应该是唯一一对2设e1，e2不共线，be1e2与a2e1e2共线，则实数的值为()ABC1D1B设akb(kR)，则2e1e2ke1ke2.e1，e2不共线，.3已知平行四边形ABCD中，P是对角线AC所在直线上一点，且t(t1)，则t()A0B1C1D任意实数B，共始点，且P，A，C三点共线，所以tt11，故t1，故选B4已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为_3a，b是一组基底，a与b不共线，
12、(3x4y)a(2x3y)b6a3b，解得xy3.5已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，用向量a和b表示c，则c_.a2ba，b不共线，可设cxayb，则xaybx(3e12e2)y(2e1e2)(3x2y)e1(2xy)e27e14e2.又e1，e2不共线，解得ca2b.回顾本节内容，自我完成以下问题：1共线向量基本定理中的条件“a0”能否省略？为什么？提示不能如果a0，b0，不存在实数，使得ba.如果a0，b0，则对任意实数，都有ba.2平面向量基本定理中的“不共线”能否去掉？提示不能两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底3理解平面向量基本定理应关注哪三点？提示(1)a，b是同一平面内的两个不共线向量；(2)该平面内任意向量c都可以用a，b线性表示，且这种表示是唯一的；(3)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底
