1、素养提升微专题(四)数列解答题中的奇、偶项问题第一编2022规律方法数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.数列中奇、偶项问题的常见题型有:(1)数列中连续两项的和或积的问题(an+an+1=f(n)或anan+1=f(n);(2)通项中含有(-1)n的类型;(3)a2n,a2n-1的类型;(4)已知明确的奇、偶项问题.考查角度角度一通项中含有(-1)n的数列求和例1(2021河北衡水中学高三月考)已知数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,an=1-2Sn.(1)求数列an的通项公式;角度二奇、偶项通项不同的数列求
2、和(1)求a2,a3及通项公式an;(2)记bn=an+an+1,求数列2n-1bn的前2n项的和T2n.所以a1=S1=1,a2=S2-S1=4-1=3,a3=S3-S2=3-4=-1.当n3,且n为奇数时,an=Sn-Sn-1=n-(n-1)2=-n2+3n-1,又a1=1符合上式,所以当n为奇数时,an=-n2+3n-1.当n为偶数时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)=n2-n+1.(2)由(1)知,当n为奇数时,bn=an+an+1=4n,当n为偶数时,bn=an+an+1=2.所以T2n=122+324+(2n-1)22n+22+24+22n=222+424+2n22n,所以4
3、T2n=224+426+2n22n+2,对点演练1.(2021山东济南模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且2Sn=3an-3.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2log3an+(-1)nn,求数列bn的前n项和Tn.解(1)当n=1时,2S1=2a1=3a1-3,所以a1=3.因为2Sn=3an-3,所以当n2时,2Sn-1=3an-1-3,所以2Sn-2Sn-1=2an=3an-3an-1,即=3(n2).所以数列an是首项为3,公比为3的等比数列,所以an=3n.2.(2021浙江杭州二中月考)设等差数列an的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列bn的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0.(1)求数列an,bn的通项公式;因为Tn-2bn+3=0,所以当n=1时,b1-2b1+3=0,即b1=3;当n2时,Tn-1-2bn-1+3=0,所以Tn-Tn-1-2bn+2bn-1=-bn+2bn-1=0,即bn=2bn-1(n2).所以数列bn是首项为3,公比为2的等比数列,所以bn=32n-1.又P1=c1=4符合上式,所以当n为奇数时,Pn=2n+n2+2n-1.本 课 结 束
