1、*2.5 一元二次方程的根与系数的关系第二章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.掌握一元二次方程的根与系数的关系.（重点）2.会利用根与系数的关系解决有关的问题.（难点）学习目标导入新课复习引入1.一元二次方程的求根公式是什么？想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？2.如何用判别式 b2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a0)b2-4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=-7,x1
2、x2=6.（2）2x2-3x-2=0.解：这里 a=2,b=-3,c=-2.=b2-4ac=（-3）2 4 2 (-2)=25 0,方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=,x1 x2=-1.例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以：x1 x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=-7.答：方程的另一个根是，k=-7.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其
3、中x1=1.所以：x1+x2=1+x2=6，即：x2=5.由于x1x2=15=得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.例3不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知：设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2=,(2)x1x2=,(3),(4).411412例4：设x1，x2是方程 x2-2(k-1)x+k2=0 的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得 =4（k-1）2-4k2 0 即-8k+4 0.由根与系数的关系得 x1+x2=2(k-1),x1 x2=k 2.x12+x22=(x
4、1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由 x12+x22=4，得 2k2-8k+4=4,解得 k1=0,k2=4.经检验，k2=4 不合题意，舍去.u总结常见的求值:求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.归纳1.不解方程，求方程两根的和与两根的积：（1）x2+3x-1=0;（2）2x2-4x+1=0.解：(1)这里 a=1,b=3,c=-1.=b2-4ac=32-4 1 (-1)=13 0 有实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=-3 ,x1 x2=-1.(2)这里 a=2,b=-4,
5、c=1.=b2-4ac=(-4)2-4 1 2 =8 0 有实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=2 ,x1 x2=.当堂练习2.已知方程 3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中：3-19+m=0.解得m=16,设另一个根为x1,则：1 x1=x1=3.设x1,x2是方程3x2+4x 3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2)解:根据根与系数的关系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1 x2+x1+x2+1=（2）4.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1。解：设方
6、程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1拓展提升由根与系数的关系，得5.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足x1-x2=1 求m的值.解：(1)方程有实数根m的取值范围为m0(2)方程有实数根x1,x2(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1解得m=8.经检验m=8是原方程的解课堂小结根与系数的关系（韦达定理）内容如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么应用常见变形
