1、江苏省张家港市2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷一、单选题（共8题；共40分）1.已知函数 f(x)=sinx-cosx ( R )的最小正周期为 ，则实数 = （ ） A.2B.-2C.2D.12.复数 6+5i 与 -3+4i 分别表示向量 OA 、 OB ，则表示向量 BA 的复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若 |a|=3 ， |b|=5 ，且 a 与 b 的夹角为 120 ，则 |a+b|= （ ） A.4B.17C.19D.54.已知 a=(1，2sin) ， b=(cos,sin) ， (2,32) ，若 ab ，
2、则 = （ ） A.23B.56C.D.435.函数 f(x)=3sin2x+2cos2x+3 在区间 0,2 上的最小值是（ ） A.4-3B.3C.5D.66.在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，E为 AD 的中点，则 EC= （ ） A.14AB-34ACB.-14AB+34ACC.34AB+14ACD.34AB-14AC7.若平面向量 a 、 b 、 c 两两的夹角相等，且 |a|=1 ， |b|=1 ， |c|=4 ，则 |2a+2b-c|= （ ） A.0B.6C.0或 6D.0或68.在 ABC 中， BC=3BD ，E为 AD 的中点，过点E的直线分别交直线 AB，A
3、C 于不同的两点M，N 设 AB=mAM ， AC=nAN ，复数 z=m+ni(m,nR) ，当 |z| 取到最小值时，实数m的值为（ ） A.12B.65C.2D.125二、多选题（共4题；共20分）9.下列关于复数 z 的四个命题，真命题的为（ ） A.若 1zR ，则 zRB.若 z2R ，则 zRC.若 |z-i|=1 ，则 |z| 的最大值为 2D.若 z3-1=0 ，则 z=110.在 ABC 内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， B=4 ， BC 边上的高等于 a3 ，则以下四个结论正确的是（ ） A.cosC=255B.sinA=31010C.tanA=
4、3D.b2-c2=a2311.已知函数 f(x)=|sinx|+|cosx| ，则（ ） A.f(x) 为偶函数B.f(x) 的最小正周期为 2C.f(x) 的值域为 1,2D.f(x) 在 4,34 上单调递减12.奔驰定理：已知 O 是 ABC 内的一点， BOC ， AOC ， AOB 的面积分别为 SA,SB,SC ，则 SAOA+SBOB+SCOC=0 “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车( Mercedesbenz )的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若 O 是锐角 ABC 内的一点， A,B,C 是 ABC 的三个内角，且
5、点 O 满足 OAOB=OBOC=OCOA ，则（ ） A.O 为 ABC 的垂心B.AOB=-CC.|OA|:|OB|:|OC|=sinA:sinB:sinCD.tanAOA+tanBOB+tanCOC=0三、填空题（共4题；共20分）13.已知 a=(2,1) ， b=(,4) ，且 ab ，则实数 = _ 14.已知对任意平面向量 AB=(x,y) ，把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转 角度得到向量 AP=(xcos-ysin,xsin+ycos) ，叫做把点B绕着A沿逆时针方向旋转 角得到点P AB=(1,3) 沿顺时针方向旋转 6 得到的向量 AP= _ 15.已知复数 z1=2+m
6、i ， z2=tan+icos2 （ 为实数），并且 z1=z2 ，则实数 m= _ 16.如图，已知直线 l1/l2 ，A是 l1 ， l2 之间的一个定点，并且点A到 l1 ， l2 的距离都为2，B是直线 l2 上的一个动点，作 ACAB ，且使 AC 与直线 l1 交于点C ， 设 ABD= ，则 ABC 面积的最小值是_， ABC 周长的最小值是_ 四、解答题（共6题；共70分）17. （1）已知复数 -1+3i 是关于x的方程 x2+px+q=0(p,qR) 的一个根，求 p+q 的值； （2）已知复数 z1=5-10i ， z2=3+4i ， 1z=1z1+1z2 ，求 |z|
7、18.已知 AB 是圆O的一条直径，且 AB=2 ，C，D是直径 AB 同侧的半圆弧上两个三等分点，其中C是靠近A的三等分点 （1）求 |AB+AC| 的值； （2）求 ADBC 的值 19.圣索菲亚教堂(SAINT SOPHIA CATHEDRAL)是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如左图某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度，他们在索菲亚教堂的正东方
8、向找到一座建筑物 AB ，测得建筑物 AB 的高度为h ， 在它们之间的地面上的点M(B ， M ， D三点共线)处可以测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别为 和 ，在楼顶A处可测得塔顶C的仰角为 ，且 AB 与 CD 都垂直地面，如右图，那么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少？（结果用h ， ， ， 表示） 20.已知 ， 都是锐角， tan=17,cos(+)=255 （1）求 sin ； （2）求 +2 21.在 ABC 中，三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，请在 2bsin(A+6)=a+c ； (2c-a)cosB=bcosA ； a2+c2
9、-b2=433SABC 这三个条件中任意选择一个，完成下列问题： （1）若 3a+b=2c ，求 cosC ； （2）若 b=2 且 1sinA+1sinC=433 ，求 ABC 的面积 22. （1）对于平面向量 a ， b ，求证： |ab|a|b| ，并说明等号成立的条件； （2）我们知道求 f()=cos+3sin 的最大值可化为求 f()=2sin(+6) 的最大值，也可以利用向量的知识，将 f() 构造为两个向量的数量积形式，即：令 a=(1，3) ， b=(cos，sin) ，则转化为 f()=ab ，求出最大值利用以上向量的知识，完成下列问题： 对于任意的 a,b,c,dR ，
10、求证： (ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2) ；求 f(x)=3x-1+42-x 的最值答案解析部分一、单选题（共8题；共40分）1.已知函数 f(x)=sinx-cosx ( R )的最小正周期为 ，则实数 = （ ） A.2B.-2C.2D.1【答案】 C 【考点】三角函数的周期性及其求法 【解析】【解答】 f(x)=sinx-cosx=2sin(x-4) ， f(x) 的最小正周期 T=2|= ，解得： =2。故答案为：C. 【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值。2.复数 6+5i 与 -3+4i 分别表示向量 OA 、 OB
11、 ，则表示向量 BA 的复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 A 【考点】平面向量的坐标运算，复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】因为复数 6+5i 与 -3+4i 分别表示向量 OA 、 OB ， 所以复数 6+5i 与 -3+4i 在复平面内对应的点分别为 A(6,5) 、 B(-3,4) ,所以 BA=(6,5)-(-3,4)=(9,1) ，所以 BA 对应的复数为 z=9+i ，所以表示向量 BA 的复数在复平面内对应的点位于第一象限。故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，所以复数
12、6+5i 与 -3+4i 在复平面内对应的点分别为 A(6,5) 、 B(-3,4) ,再利用向量的坐标表示求出向量BA的坐标，再利用复数BA的几何意义求出向量对应的复数，再利用复数的几何意义求出复数 BA 的复数在复平面内对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限。3.若 |a|=3 ， |b|=5 ，且 a 与 b 的夹角为 120 ，则 |a+b|= （ ） A.4B.17C.19D.5【答案】 C 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【解析】【解答】 |a+b|=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2|a|b|cos120+|b|2=9+235(-12)+25=19
13、 。故答案为：C 【分析】利用已知条件结合向量的数量积求向量的模的公式，再结合数量积的定义，从而求出复数的模。4.已知 a=(1，2sin) ， b=(cos,sin) ， (2,32) ，若 ab ，则 = （ ） A.23B.56C.D.43【答案】 C 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】 a=(1，2sin) ， b=(cos,sin) ， (2,32) ，且 ab ， 1sin=cos2sin ，当 = 时， sin=0 ，此时 a=(1，0) ， b=(-1,0) ，满足 ab ；当 时， sin0 ，要使 ab ，只需 cos=12 ，因为 (2,32) ，所
14、以无解，综上所述： = 。故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，得出1sin=cos2sin ， 再利用分类讨论的方法结合向量共线的坐标表示和角的取值范围，进而求出满足要求的角的值。5.函数 f(x)=3sin2x+2cos2x+3 在区间 0,2 上的最小值是（ ） A.4-3B.3C.5D.6【答案】 B 【考点】三角函数的最值 【解析】【解答】 f(x)=3sin2x+2cos2x+3=3sin2x+cos2x+4=2sin(2x+6)+4 ， 因为 0x2 时， 62x+676 ，所以，当 2x+6=76 时，函数 f(x) 取得最小值，即 f(x)min=2si
15、n76+4=2(-12)+4=3 。故答案为：B. 【分析】利用二倍角的余弦公式结合辅助角公式，将函数转化为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数在给定区间的最小值。6.在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，E为 AD 的中点，则 EC= （ ） A.14AB-34ACB.-14AB+34ACC.34AB+14ACD.34AB-14AC【答案】 B 【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】【解答】由D为 BC 中点，根据向量的平行四边形运算法则， 可得 AD=12(AB+AC) ，EC=AC-AE=AC-12AD=-14AB+34AC
16、。故答案为：B. 【分析】由D为 BC 中点，根据向量的平行四边形运算法则，可得 AD=12(AB+AC) ，再利用三角形法则结合平面向量基本定理，进而得出EC=-14AB+34AC。7.若平面向量 a 、 b 、 c 两两的夹角相等，且 |a|=1 ， |b|=1 ， |c|=4 ，则 |2a+2b-c|= （ ） A.0B.6C.0或 6D.0或6【答案】 D 【考点】平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【解析】【解答】分以下两种情况讨论： （1）三个向量 a 、 b 、 c 的夹角均为 0 ，则 |2a+2b-c|=|2|a|+2|b|-|c|=0 ；（2
17、）三个向量 a 、 b 、 c 的夹角均为 120 ，则 ac=bc=14(-12)=-2 ， ab=12(-12)=-12 ，所以， |2a+2b-c|2=4a2+4b2+c2+8ab-4ac-4bc=4+4+16-4+82=36 ，|2a+2b-c|=6 ，综上所述， |2a+2b-c|=0 或 |2a+2b-c|=6。故答案为：D. 【分析】利用平面向量 a 、 b 、 c 两两的夹角相等结合分类讨论的方法， 得出（1）三个向量 a 、 b 、 c 的夹角均为 0 和（2）三个向量 a 、 b 、 c 的夹角均为 120 两种情况，再利用向量的模的运算法则结合数量积的定义，再结合数量积求
18、向量的模的公式，进而求出向量的模。8.在 ABC 中， BC=3BD ，E为 AD 的中点，过点E的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点M，N 设 AB=mAM ， AC=nAN ，复数 z=m+ni(m,nR) ，当 |z| 取到最小值时，实数m的值为（ ） A.12B.65C.2D.125【答案】 D 【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】【解答】在 ABC 中，因为 BC=3BD ， 所以 AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC ，又 AB=mAM ， AC=nAN ，所以 AD=23mAM+13nAN ，因为E为 AD 的中点，所以 A
19、E=12AD=13mAM+16nAN ，因为M、E、N三点共线，所以 13m+16n=1 ，即 n=6-2m ，复数 z=m+ni(m,nR) ，所以 |z|=m2+n2=m2+(6-2m)2=5m2-24m+36 ，令 y=5m2-24m+36=5(m-125)2+365 ，故当 m=125 ， |z| 最小。故答案为：D 【分析】利用已知条件结合共线定理和中点的性质，再利用平面向量基本定理，从而得出AE=12AD=13mAM+16nAN ，因为M、E、N三点共线，所以 13m+16n=1 ，即 n=6-2m ，因为复数 z=m+ni(m,nR) ，再利用复数求模公式得出|z|=5m2-24
20、m+36 ， 令 y=5m2-24m+36=5(m-125)2+365 ，再利用二次函数图象求最值的方法，进而求出复数的模的最小值。二、多选题（共4题；共20分）9.下列关于复数 z 的四个命题，真命题的为（ ） A.若 1zR ，则 zRB.若 z2R ，则 zRC.若 |z-i|=1 ，则 |z| 的最大值为 2D.若 z3-1=0 ，则 z=1【答案】 A,C 【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算，复数求模 【解析】【解答】对于A选项，设 z=a+bi(a,bR) ，则 a2+b20 ， 1z=1a+bi=a-bi(a+bi)(a-bi)=aa2+
21、b2-ba2+b2i ， 1zR ，则 b=0 ，从而 zR ，A选项正确；对于B选项，取 z=i ，则 z2=-1R ，但 zR ，B选项错误；对于C选项，由复数的模的三角不等式可得 |z|=|(z-i)+i|z-i|+|i|=2 ，C选项正确；对于D选项，由 z3-1=(z-1)(z2+z+1)=0 ，可得 z=1 或 z2+z+1=0 ，由 z2+z+1=(z+12)2+34=0 ，则 (z+12)2=-34=(32i)2 ，解得 z=-12-32i 或 z=-12+32i ，D选项错误.故答案为：AC. 【分析】利用复数的乘除法运算法则结合复数为实数的判断方法，再结合复数的模求解公式和
22、复数的模的三角不等式可得 |z|=|(z-i)+i|z-i|+|i|=2 ，再利用复数的混合运算法则结合复数相等的充要条件，进而求出复数z的代数表达式，从而选出真命题的选项。10.在 ABC 内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， B=4 ， BC 边上的高等于 a3 ，则以下四个结论正确的是（ ） A.cosC=255B.sinA=31010C.tanA=3D.b2-c2=a23【答案】 A,B,D 【考点】正弦定理，余弦定理 【解析】【解答】 sinB=a3c=a3c=22 ， c=23a ，由余弦定理知： cosB=a2+c2-b22ac=a2+(23a)2-b22a
23、23a=22 ，解得 b=53a ， b2-c2=(53a)2-(23a)2=13a2 ，选项D正确；由正弦定理有： sinB=53sinA=22 ，则 sinA=31010 ，选项B正确；易知 c=105b ， B=4 ，则 C2 ，tanA=-3 ，选项C错误.sinC=105sinB=10522=55cosC=255 ，选项A正确；故答案为：ABD. 【分析】利用正弦函数的定义结合已知条件求出a,c的关系式，再利用余弦定理求出a,b的关系式，从而求出a,b的关系式，再利用正弦定理结合已知条件求出角A的正弦值，再利用b,c的关系式和已知条件，进而结合三角形内角和为180度的性质，从而求出角
24、A的取值范围，再结合正切函数的定义求出角A的正切值，再利用正弦定理结合已知条件求出角C的正弦值，再利用同角三角函数基本关系式求出角C的余弦值，从而找出结论正确的选项。11.已知函数 f(x)=|sinx|+|cosx| ，则（ ） A.f(x) 为偶函数B.f(x) 的最小正周期为 2C.f(x) 的值域为 1,2D.f(x) 在 4,34 上单调递减【答案】 A,B,C 【考点】函数的值域，函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，三角函数的周期性及其求法 【解析】【解答】对于选项A， f(x) 定义域为 R ， f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|
25、=f(x) ，即 f(x) 为偶函数，所以该选项正确； 对于选项B， f(x)=|sinx|+|cosx|=1+|sin2x| ， f(x) 的最小正周期为 =2 ，故该选项正确；对于选项C， f(x)=|sinx|+|cosx|=1+|sin2x| ，则当 sin2x=1 时， f(x) 的最大值为 2 ，当 sin2x=0 时， f(x) 的最小值为1，所以 f(x) 的值域为 1,2 .故该选项正确；对于选项D， x4 ， 34 时， 2x2 ， 32 ， f(x)=|sinx|+|cosx|=1+|sin2x| ，令 2x=t ，则 y=|sint| 在 2 ， 32 上不是单调函数，
26、再由复合函数的单调性可得， f(x) 在 4 ， 34 上不是单调函数，故该选项错误.故答案为：ABC 【分析】利用偶函数的定义判断出函数为偶函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式结合绝对值的定义，从而由函数图象求出函数的最小正周期，再利用绝对值的定义画出分段函数的图像，再利用分段函数的图像判断出函数在给定区间的单调性，进而求出函数的最值，从而求出函数的值域，进而选出正确的选项。12.奔驰定理：已知 O 是 ABC 内的一点， BOC ， AOC ， AOB 的面积分别为 SA,SB,SC ，则 SAOA+SBOB+SCOC=0 “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图
27、形与“奔驰”轿车( Mercedesbenz )的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若 O 是锐角 ABC 内的一点， A,B,C 是 ABC 的三个内角，且点 O 满足 OAOB=OBOC=OCOA ，则（ ） A.O 为 ABC 的垂心B.AOB=-CC.|OA|:|OB|:|OC|=sinA:sinB:sinCD.tanAOA+tanBOB+tanCOC=0【答案】 A,B,D 【考点】平面向量数量积的含义与物理意义，数量积判断两个平面向量的垂直关系，三角形中的几何计算 【解析】【解答】对于A， OAOB=OBOC ， OB(OA-OC)=OBCA=0 ，即 OBCA ，同理
28、可证得： OABC ， OCAB ， O 是 ABC 的垂心，A正确； 对于B，延长 OA,OB 交 BC,AC 于 D,E 两点，由A可知： ADBC ， BEAC ， C+CAD=2 ， AOE+CAD=2 ，AOE=C ，又 AOE+AOB= ， AOB=-AOE=-C ，B正确；对于C，由B可得： OAOB=|OA|OB|cosAOB=-|OA|OB|cosC ，同理可得： OBOC=-|OB|OC|cosA ， OAOC=-|OA|OC|cosB ，-|OA|OB|cosC=-|OB|OC|cosA=-|OA|OC|cosB ，|OA|:|OB|:|OC|=cosA:cosB:cos
29、C ，C错误；对于D，由B可得： SC=12|OA|OB|sinAOB=12|OA|OB|sinC ，同理可得： SA=12|OB|OC|sinA ， SB=12|OA|OC|sinB ，SA:SB:SC=sinA|OA|:sinB|OB|:sinC|OC| ，由C可得： SA:SB:SC=sinAcosA:sinBcosB:sinCcosC=tanA:tanB:tanC ，又因为 SAOA+SBOB+SCOC=0 ， tanAOA+tanBOB+tanCOC=0 ，D正确.故答案为：ABD. 【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而证出两向量垂直，即 OBCA ，同理可证
30、得： OABC ， OCAB ， 再结合垂心的定义，从而推出O 是 ABC 的垂心，延长 OA,OB 交 BC,AC 于 D,E 两点，由A可知： ADBC ， BEAC ， 所以C+CAD=2 ， AOE+CAD=2 ，所以AOE=C ，再利用两角互补的性质，得出 AOE+AOB= ，所以 AOB=-C ，利用已知条件结合数量积的定义，从而推出|OA|:|OB|:|OC|=cosA:cosB:cosC ， 再利用三角形面积公式结合已知条件和|OA|:|OB|:|OC|=cosA:cosB:cosC ， 再结合同角三角函数基本关系式，得出SA:SB:SC=tanA:tanB:tanC ， 又因
31、为 SAOA+SBOB+SCOC=0 ， 从而得出tanAOA+tanBOB+tanCOC=0 ， 进而选出正确的选项。三、填空题（共4题；共20分）13.已知 a=(2,1) ， b=(,4) ，且 ab ，则实数 = _ 【答案】 -2 【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】由已知可得 ab=2+4=0 ，解得 =-2 。 故答案为：-2。 【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而求出的值。14.已知对任意平面向量 AB=(x,y) ，把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转 角度得到向量 AP=(xcos-ysin,xsi
32、n+ycos) ，叫做把点B绕着A沿逆时针方向旋转 角得到点P AB=(1,3) 沿顺时针方向旋转 6 得到的向量 AP= _ 【答案】(3,1)【考点】平面向量坐标表示的应用 【解析】【解答】因为 AB=(1,3) 沿顺时针方向旋转 6 ，相当于逆时针方向旋转 =-6 ， 按照题意：AP=(xcos-ysin,xsin+ycos)=(1cos(-6)-3sin(-6),1sin(-6)+3cos(-6)=(3,1) 。故答案为： (3,1)。 【分析】因为 AB=(1,3) 沿顺时针方向旋转 6 ，相当于逆时针方向旋转 =-6 ，依题意结合诱导公式，从而求出 AB=(1,3) 沿顺时针方向旋
33、转 6 得到的向量的坐标。15.已知复数 z1=2+mi ， z2=tan+icos2 （ 为实数），并且 z1=z2 ，则实数 m= _ 【答案】-35【考点】复数相等的充要条件，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系 【解析】【解答】已知复数 z1=2+mi ， z2=tan+icos2 （ 为实数），并且 z1=z2 ，则 tan=2m=cos2 ，所以， m=cos2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=-35 。 故答案为： -35 。 【分析】利用已知条件结合复数相等的等价关系，得出m=cos2 ， 再利用二倍角的余弦公式结合同角
34、三角函数基本关系式变形，进而求出m的值。16.如图，已知直线 l1/l2 ，A是 l1 ， l2 之间的一个定点，并且点A到 l1 ， l2 的距离都为2，B是直线 l2 上的一个动点，作 ACAB ，且使 AC 与直线 l1 交于点C ， 设 ABD= ，则 ABC 面积的最小值是_， ABC 周长的最小值是_ 【答案】 4；42+4【考点】三角函数的最值，三角形中的几何计算 【解析】【解答】由题意得： AD=AE=2 , 所以 AB=2sin ，又因为 ABD= 且 CAB=2 ,则 CAE= ，所以 AC=2cos ，则 SABC=12ABAC=2sincos=4sin2 ，当 sin2
35、=1 即当 =4 时， SABC 能取得最小值，最小值为4;又因为 ABD=(0,2) ，所以 sin0,cos0 ， 所以在 ABC 中， BC=AB2+AC2=(2sin)2+(2cos)2=2sincos ， ABC 周长 CABC=AB+AC+BC=2sin+2cos+2sincos=2cos+2sin+2sincos ，令 t=cos+sin ，则 t=2sin(+4)(1,2 ，所以 CABC=2t+2t2-12=4(t+1)t2-1=4t-1 ，当 t=2 时，上式取得最小值，最小值为 42+4 。故答案为：4， 42+4。 【分析】利用已知条件结合正弦函数和余弦函数的定义，进而
36、求出AB=2sin和AC=2cos ， 再利用三角形面积公式和二倍角的正弦公式，得出SABC=4sin2 ， 再利用正弦型函数的图像求出三角形面积的最小值；又因为 ABD=(0,2) ，再结合象限角对应的正弦值和余弦值的符号，所以 sin0,cos0 ， 再利用勾股定理求出BC的长，再利用三角形周长公式得出CABC=2cos+2sin+2sincos ， 令 t=cos+sin ，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图像求出t的值域，所以 CABC=4t-1 ，再利用分式函数的图像求最值的方法，进而求出三角形 ABC 周长的最小值 。四、解答题（共6题；共70分）17. （
37、1）已知复数 -1+3i 是关于x的方程 x2+px+q=0(p,qR) 的一个根，求 p+q 的值； （2）已知复数 z1=5-10i ， z2=3+4i ， 1z=1z1+1z2 ，求 |z| 【答案】 （1）解：因为 3i-1 是方程 x2+px+g=0 的一个根， (3i-1)2+p(3i-1)+q=0 -8-p+q+(3p-6)i=0 ，而 p,qR -8-p+q=03p-6=0 p=2q=10 ， p+q=12（2）解： z1=5-10i,z2=3+4i ， 1z=1z1+1z2=z1+z2z1z2 ， z=z1z2z1+z2=(5-10i)(3+4i)8-6i=55-10i8-6
38、i=(55-10i)(8+6i)(8-6i)(8+6i)=500+250i100=5+52i ， |z|=52+(52)2=552【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系，复数代数形式的乘除运算，复数求模 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法，从而结合复数相等的等价关系，进而解方程组求出p，q的值，从而求出p+q的值。 （2）利用已知条件结合复数的混合运算法则求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数z的模。 18.已知 AB 是圆O的一条直径，且 AB=2 ，C，D是直径 AB 同侧的半圆弧上两个三等分点，其中C是靠近A的三等分点 （1）求 |AB+AC| 的值； （2）求 A
39、DBC 的值 【答案】 （1）解：由题得 |AB|=2,|AC|=1,AB,AC=3 ， |AB+AC|2=(AB+AC)2=AB2+2ABAC+AC2=22+221cos60+12=7 |AB+AC|=7（2）解：如图，连接 OC,OD.由题得 |AD|=3,|BC|=3,AD,BC=23 ADBC=|AD|BC|cos120=33(-12)=-32【考点】平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【解析】【分析】(1) 由题得 |AB|=2,|AC|=1,AB,AC=3 ，再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的定义，进而求出 |AB+AC| 的值 。 （2） 连
40、接 OC,OD，由题得 |AD|=3,|BC|=3,AD,BC=23 ，再利用数量积的定义，进而求出数量积 ADBC 的值 。19.圣索菲亚教堂(SAINT SOPHIA CATHEDRAL)是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如左图某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度，他们在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB ，测得建筑物 AB 的高度为h ，
41、在它们之间的地面上的点M(B ， M ， D三点共线)处可以测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别为 和 ，在楼顶A处可测得塔顶C的仰角为 ，且 AB 与 CD 都垂直地面，如右图，那么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少？（结果用h ， ， ， 表示） 【答案】 解：由题可知，在 RtCDM 中， CDM= ， 设 CD=x ，则 CM=CDsin=xsin ，在 RtABM 中， AMB=，AB=h ，则 AM=ABsin=hsin 在 ACM 中， CAM=+，CMA=-（+） MCA=-由正弦定理 asinA=bsinB=csinC 可知CMsinMAC=AMsinMCA ，即 x
42、sinsin(+)=hsinsin(-) x=sinsin(+)sinsin(-)h答：索菲亚教堂的高度为 sinsin(+)sinsin(-)h【考点】正弦定理的应用 【解析】【分析】利用已知条件结合正弦函数的定义，再利用正弦定理，从而求出索菲亚教堂的高度。20.已知 ， 都是锐角， tan=17,cos(+)=255 （1）求 sin ； （2）求 +2 【答案】 （1）解： tan=sincos=17sin2+cos2=1 ， sin2=150 是锐角， sin=210,cos=7210 ， cos(+)=255,0+ ， sin(+)=55 所以 sin=sin(+)-=sin(+)c
43、os-cos(+)sin=557210-255210=1010（2）解： 是锐角， sin=101022 ， 04 ， cos=31010,tan=13 , 是锐角， tan(+)=121 0+4 ， 0+20 ，所以 3sinB-cosB=1 ，所以 2sin(B-6)=1 ，可得 sin(B-6)=12 .又 B(0,) ，所以 B-6(-6,56) ，所以 B-6=6 ，所以 B=3 ；若选，因为 (2c-a)cosB=bcosA ，又由正弦定理可知： (2sinC-sinA)cosB=sinBcosA ，所以 2sinCcosB=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=s
44、inC ，又 C(0,) ，则 sinC0 ，所以 cosB=12 ，又 B(0,) ，所以 B=3 ；若选， a2+c2-b2=433SABC ，由余弦定理得 a2+c2-b2=2accosB ，所以 2accosB=233acsinB ，又 B(0,) 且 B2 ，所以 tanB=3 ，又 B(0,) ，所以 B=3 ；解法一：若 3a+b=2c ，由正弦定理得 3sinA+sinB=2sinC ，又 B=3 ，所以 3sin(23-C)+sinB=2sinC ，可得 3(32cosC+12sinC)+32=2sinC ，所以 sinC=33cosC+3 ，又 sin2C+cos2C=1
45、，所以 14cos2C+9cosC+1=0 ，所以 (2cosc+1)(7cosC+1)=0 ，又 C(0,23) ，所以 cosC(-12,1) ，所以 cosC=-17 ；解法二：若 3a+b=2c ，又 B=3 ，由余弦定理 a2+c2-b2=2accosB 可知 a2+c2-b2=ac ，即 a2+c2-ac=b2=(2c-3a)2=9a2+4c2-12ac ，整理得 8a2-11ac+3c2=0 ，解得 a=c 或 a=38c ，若 a=c ， B=3 ，则 a=c=b ，与 3a+b=2c 矛盾；若 a=38c ，则 b=78c ，由余弦定理可得 cosC=a2+b2-c22ab=
46、-17（2）解：由 b=2 ， B=3 及正弦定理知 asinA=csinC=bsinB=433 由 1sinA+1sinC=433a+433c=433 ，所以 a+c=ac ，又由余弦定理得 a2+c2-b2=ac ，即 (a+c)2-2ac-4=ac ，整理可得 (ac)2-3ac-4=0 ，ac0 ，可得 ac=4 ，所以 SABC=12acsinB=3【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理 【解析】【分析】（1） 在 2bsin(A+6)=a+c ； (2c-a)cosB=bcosA ； a2+c2-b2=433SABC 这三个条件中任意选择一个求出
47、角B的值。若选，利用已知条件结合两角和的正弦公式，再结合正弦定理，进而三角形中角A的取值范围，从而求出 3sinB-cosB=1 ，再利用辅助角公式化简可得 sin(B-6)=12 ， 再利用三角形中角B的取值范围，得出角 B-6的取值范围 ，进而求出角B的值； 若选，利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式、三角形中角C的取值范围，从而求出角B的余弦值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值； 若选，利用已知条件结合余弦定理和三角形中角B的取值范围，再利用同角三角函数基本关系式，从而求出角B的值。再利用两种解法求出角C的余弦值，解法一
48、， 若 3a+b=2c 结合正弦定理和角B的值，再利用三角形内角和为1980度的性质和两角差的正弦公式，得出 sinC=33cosC+3 ，再利用同角三角函数基本关系式，进而结合三角形中角C的取值范围，进而求出角C的余弦值；解法二， 若 3a+b=2c ，再利用角B的值结合余弦定理， 解得 a=c 或 a=38c ，再利用分类讨论的方法结合已知条件和余弦定理，进而结合反证法的证明方法，从而求出角C的余弦值。 （2）利用已知条件结合正弦定理，得出 a+c=ac ， 再利用余弦定理得出 a2+c2-b2=ac ， 联立两个关于a,c的方程组可得 (ac)2-3ac-4=0 ， 再利用ac的取值范围
49、，从而求出ac的值，再结合三角形面积公式，进而求出三角形 ABC 的面积。 22. （1）对于平面向量 a ， b ，求证： |ab|a|b| ，并说明等号成立的条件； （2）我们知道求 f()=cos+3sin 的最大值可化为求 f()=2sin(+6) 的最大值，也可以利用向量的知识，将 f() 构造为两个向量的数量积形式，即：令 a=(1，3) ， b=(cos，sin) ，则转化为 f()=ab ，求出最大值利用以上向量的知识，完成下列问题： 对于任意的 a,b,c,dR ，求证： (ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2) ；求 f(x)=3x-1+42-x 的最值【答案】 （1）
50、解：设 a,b= ，所以 |ab|=|a|b|cos|=|a|b|cos|a|b|当且仅当 a/b 时，即 =0 或 = ，等号成立（2）解：设 a=(a,b),b=(c,d) ，则 ab=ac+bd,|a|=a2+b2,|b|=c2+d2 |ab|a|b| ， |ac+bd|a2+b2c2+d2两边平方得： (ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2) a=(3,4),b=(x-1,2-x) ，所以 |a|=5,|b|=1 ，所以 f(x)=3x-1+42-x=ab因为点 (x-1,2-x) 在以圆点为圆心，1为半径的单位圆上的 14 ，即第一象限及 (0，1) ， (1,0) ；当 b=(
51、1,0) 时， b 在 a 上的投影最小，即 f(x) 的最小值为3；当 a,b 共线同向时取得最大值，即 f(x) 的最大值为5，当且仅当 x=3425 时取得最大值【考点】向量的共线定理，平面向量数量积的含义与物理意义，向量的投影 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的定义和性质，再结合向量共线定理，从而得出当 =0 或 = 时，不等式 |ab|a|b| 中等号成立。 （2） 设 a=(a,b),b=(c,d) ， 再利用数量积的坐标表示结合向量的模的求解公式，再结合数量积的性质结合平方法，得出 (ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2) 。 a=(3,4),b=(x-1,2-x) ， 再利用向量求模公式，所以 |a|=5,|b|=1 ，所以 f(x)=3x-1+42-x=ab因为点 (x-1,2-x) 在以圆点为圆心，1为半径的单位圆上的 14 ，即第一象限及 (0，1) ， (1,0) ，再利用向量投影求出函数f(x)的最小值，再结合向量共线同向，进而求出函数f(x)的最大值。
