1、5.5*数学归纳法第五章2022课标要求了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.备考指导本节为选学内容,不作考试要求.但是对于归纳猜想证明的思想还是应该注意理解,提升逻辑推理素养.内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升第一环节 必备知识落实【知识筛查】数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0N*)时命题成立;(2)(归纳递推)以“当n=k(kN*,kn0)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正
2、整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法(mathematical induction).温馨提示能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件:(1)第一块骨牌倒下;(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.【知识巩固】1.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+2n+2=2n+3
3、-1”,验证当n=1结论成立时,左边式子应为1+2+22+23.()C345n+1根据题意可得,a2=3,a3=4,a4=5,故猜想an=n+1.4.用数学归纳法证明1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是.(2k+2)+(2k+3)当n=k时,待证等式左边=1+2+3+(2k+1),当n=k+1时,待证等式左边=1+2+3+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),所以从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).第二环节 关键能力形成能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点1用数学归纳法证明等式能力形成点1
4、能力形成点2能力形成点3解题心得1.用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.2.由当n=k时等式成立,推出当n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.3.不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.能力形成点1能力形成点2能力形成点3对点训练1求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(nN*).证明(1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立;(2)假设当n=k(kN*)时等式成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k135(2
5、k-1),则当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k135(2k-1)(2k+1)2=2k+1135(2k-1)(2k+1),即当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,对所有nN*等式都成立.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点2用数学归纳法证明不等式能力形成点1能力形成点2能力形成点3解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若应用其他办法不容易证明,则可考虑用数学归纳法.2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用求差(求商
6、)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点3归纳猜想证明(1)求a2,a3,a4;(2)猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点1能力形成点2能力形成点3解题心得在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点:(1)计算特例时,不仅仅是简单的计算过程,有时要通过计算过程发现数据的变化规律;(2)如果猜想出来的结论与正整数n有关,一般用数学归纳法证明.能力形成点1能力形成点2能力形成点3对点训练3(1)求S1,S2,S3,S4;(2)猜想该数列的前n项和Sn,并证明.
7、能力形成点1能力形成点2能力形成点3第三环节 学科素养提升用数学归纳法证明整除问题典例用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.证明:(1)当n=1时,xn+yn=x+y,显然能被x+y整除,命题成立.(2)假设当n=k(kN*,且k为奇数)时,命题成立,即xk+yk能被x+y整除.那么当n=k+2时,xk+2+yk+2=x2(xk+yk)+yk+2-x2yk=x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y).又根据假设,xk+yk能被x+y整除,所以x2(xk+yk)能被x+y整除.又yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,所以x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y)能被x+
8、y整除,即当n=k+2时,命题成立.由(1)(2)可知,当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.解题心得用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的n=k+1的式子中拼凑出当n=k时的假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式或某数整除.证明过程中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子,从而利用当n=k时的假设使问题得到解决.变式训练证明:(3n+1)7n-1能被9整除(nN*).证明(1)当n=1时,(3n+1)7n-1=(3+1)7-1=27是9的倍数,命题成立.(2)假设当n=k(kN*)时,命题成立,即(3k+1)7k-1能被9整除.那么当n=k+1时,3(k+1)+17k+1-1=(21k+28)7k-1=(3k+1)7k-1+(18k+27)7k,由假设知(3k+1)7k-1能被9整除.由于(18k+27)7k=9(2k+3)7k也能被9整除,故(3k+1)7k-1+(18k+27)7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立.根据(1)(2)可知,(3n+1)7n-1能被9整除(nN*).
