1、1.3 等式的性质与不等式的性质、基本不等式第一章2022课标要求1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.2.掌握基本不等式(a,b0).3.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.备考指导不等式的性质贯穿于整个高中数学,是解不等式、研究不等式问题的根本.复习时要理清各条性质的应用条件,准确使用.以提升逻辑推理和数学运算素养.基本不等式是高考的重点,有时单独考查,有时与其他知识综合求最值.应用时要注意检验等号成立的条件,根据已知条件适当变形.内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升第一环节 必备知识落实【知识筛查】
2、1.两个实数比较大小的法则2.等式的基本性质3.不等式的基本性质问题思考若ab,且a与b都不为0,则的大小关系确定吗?温馨提示1.不等式还有以下几条常用性质(1)移项法则:a+bcac-b.即不等式的任何一项移到不等号的另一边时一定要改变符号.2.两个重要不等式4.基本不等式注意:(1)基本不等式应用的条件是“一正二定三相等”.一正:一般要求a,b同为正数;二定:a+b或ab为定值;三相等:当且仅当a=b时,不等式取得等号.(2)基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.5.利用基本不等式求最值已知x0,y0,则【知识巩固】1.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)两
3、个实数a,b之间,有且只有ab,a=b,ab,则|a|b|B.若ab,则C.若|a|b,则a2b2D.若a|b|,则a2b2D当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a|b|0,则a2b2.故选D.3.若a,bR,且ab0,则下列不等式恒成立的是()Da2+b2-2ab=(a-b)20,A错误;对于B,C,当a0,b0,4.若x0,y0,且2(x+y)=36,则的最大值为()A.9B.18C.36D.81A由2(x+y)=36,得x+y=18,所以,当且仅当x=y=9时,等号成立.5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元
4、.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.30第二环节 关键能力形成能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5能力形成点1比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1,a2(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MNC.M=ND.不确定BM-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).a1(0,1),a2(0,1),a1-10,a2-10,即M-N0.MN.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5A.abcB.cbaC.cabD.ba2xy-1B.x2+y2=2xy-1C.
5、x2+y20,所以x2+y22xy-1,故选A.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5(2)已知a0,b0,试比较aabb与abba的大小.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5能力形成点2不等式的性质及应用例2(1)如果aR,且a2+aa-a2-aB.a2-aa-a2C.-aa2a-a2D.-aa2-a2aD由a2+a0,即a(a+1)0,解得-1aa20,而a-a20,所以a-a20a2-a.故选D.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5D(方法一)由cd0.(方法二)依题意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代入验证知A
6、,B,C错误,只有D正确.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5解题心得判断多个不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式性质,逐个验证;方法二是用特殊值法,即举反例排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘一个代数式时,要注意所乘的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,两边同时取倒数后不等号方向不变等.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5对点训练2(1)若a1b-1,则下列不等式恒成立的是()A能力形成点1能力形成点
7、2能力形成点3能力形成点4能力形成点5(2)下列说法正确的是()A.若ab,cd,则acbdB.若acbc,则abD.若ab,cd,则a-cb-d C取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当cbca0,即af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立a0,b0)过曲线y=1+sin x(0 x2)的对称中心,则的最小值为.由正弦函数的图象与性质可知,曲线y=1+sin x(0 x2)的对称中心为(1,1),故a+b=1.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5B能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5能力形成点5基本不等式的实际应用例7某
8、厂家拟在2022年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(单位:万元)(m0)满足(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括年促销费用).(1)将2022年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数;(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5能力形
9、成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5解题心得利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数解析式,再用基本不等式求解.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5对点训练5某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位月处理量为多少吨时,才能使每吨
10、的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,那么求出最大利润;如果不获利,那么需要国家每月至少补贴多少元才能使该单位不亏损?能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5解(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为因为x400,600,所以该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低平均处理成本为200元.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点4能力形成点5(2)不获利.设该单位每月获利为S元,因为x400,600,所以S-80 000,-40 000.故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能使该单位不亏损.第三环节 学
11、科素养提升应用不等式的性质求代数式的取值范围典例设f(x)=ax2+bx,且1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2)的取值范围.思路分析f(-1)=a-b,f(1)=a+b.思路1:由条件知1a-b2,2a+b4,因此可确定字母a,b的取值范围,进而求出f(-2)的取值范围;思路2:由f(-1),f(1)可求出,进而用f(-1),f(1)表示出f(-2),可以求出f(-2)的范围.两种思路所求结果是否相同呢?如果不同,哪方面出现了问题?下面,我们来具体研究一下.解题心得已知条件是多个字母相关联(如和、差、积、商等)的取值范围,求解与此类字母有关的代数式的取值范围时,一般是利用整体思想,把要求取值范围的代数式用已知代数式整体表示,通过“一次性”不等关系的运算求得整体的取值范围.变式训练已知-12a+b2,3a-b4,则5a+b的取值范围是.(1,8)令5a+b=(2a+b)+(a-b)=(2+)a+(-)b,即5a+b=2(2a+b)+(a-b).-12a+b2,-22(2a+b)4.又3a-b4,12(2a+b)+(a-b)8.故5a+b的取值范围为(1,8).
