1、第七节三角函数的化简与求值 选题明细表知识点、方法题号三角函数式的化简15三角函数的求值1,2,3,5,9,10,11,13三角变换的综合应用4,6,7,8,12,14一、选择题1.(2018全国卷)若sin =,则cos 2等于(B)(A)(B)(C)-(D)-解析:因为sin =,所以cos 2=1-2sin2=1-2()2=.故选B.2.设为锐角,若cos(+)=,则sin(2+)的值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为为锐角,即0,所以+=.因为cos(+)=,所以sin(+)=.所以sin(2+)=2sin(+)cos(+)=2=.cos(2+)=2cos2(+)-1=.所以s
2、in(2+)=sin(2+-)=sin(2+)cos -cos(2+)sin =-=.故选A.3.若(,),且3cos 2=sin(-),则sin 2的值为(D)(A)(B)-(C)(D)-解析:cos 2=sin(-2)=sin2(-)=2sin(-)cos(-),代入原式,得6sin(-)cos(-)=sin(-),因为(,),所以cos(-)=,所以sin 2=cos(-2)=2cos2(-)-1=-.故选D.4.函数y=的单调递增区间是(A)(A)(2k-,2k+)(kZ)(B)(2k-,2k+)(kZ)(C)(2k-,2k-)(kZ)(D)(k-,k+)(kZ)解析:y=tan(+)
3、,当+(k-,k+),kZ时,函数为增函数,此时x(2k-,2k+),kZ.故选A.5.函数f(x)=sin x-cos(x+)的值域为(B)(A)-2,2(B)-,(C)-1,1(D)-,解析:f(x)=sin x-cos x+sin x=(sin x-cos x)=sin(x-).因为xR,所以x-R,所以f(x)-,.故选B.6.设,0,且满足sin cos -cos sin =1,则sin (2-)+sin(-2)的取值范围为(A)(A)-1,1(B)-2,1(C)-1,2(D)-2,2解析:由sin cos -cos sin =1,得sin(-)=1,又,0,所以-=,所以即,所以s
4、in(2-)+sin(-2)=sin(2-+)+sin(-2+)=cos +sin =sin(+).因为,所以+,所以-1sin(+)1,即取值范围为-1,1.故选A.7.已知2sin =1+cos ,则tan 等于(C)(A)2 (B)(C)或不存在(D)不存在解析:4sin cos =2cos2,所以cos =0或2sin =cos ,所以tan =或不存在.故选C.8.函数y=(acos x+bsin x)cos x有最大值2,最小值-1,则实数 (ab)2的值为(C)(A)6(B)7(C)8(D)9解析:y=(acos x+bsin x)cos x=acos2x+bsin xcos x
5、=a+sin 2x=sin(2x+)+,所以解得a=1,所以a2=1,b2=8,所以(ab)2=8.故选C.二、填空题9.已知(0, ),-(0, ),sin =,cos (-)=,则sin (-)=,sin =.解析:因为-(0, ),cos(-)=,所以sin(-)=.同理可得cos =,所以sin =sin(-+)=sin(-)cos +cos(-)sin =.答案:10.已知锐角,满足cos =,tan =3,则tan(+)=,+=.解析:锐角,满足cos =,所以sin =,所以tan =2.因为tan =3,则tan(+)=-1,锐角,满足0+,所以+=.答案:-111.(2019
6、温岭高三模拟)已知0,且sin =,则tan(+)=,=.解析:因为为锐角,且sin =,所以cos =,tan =,所以tan (+)=tan (+)=7,所以=.答案:712.在ABC中,A,B,C是其三个内角,设f(B)=4sin Bcos2(-)+cos 2B.当f(B)-m2恒成立时,实数m的取值范围是.解析:原式=4sin B+cos 2B=2sin B(1+sin B)+(1-2sin2B)=2sin B+1.因为f(B)-m2恒成立,所以2sin B+1-m2sin B-1恒成立.因为0B,所以0sin B1.所以-11.答案:(1,+)13.已知cos4-sin4=,且(0,
7、),则cos(2+)=.解析:因为cos4-sin4=(sin2+cos2)(cos2-sin2)=,所以cos 2=.又(0,),所以2(0,),所以sin 2=.所以cos(2+)=cos 2-sin 2=-=.答案:三、解答题14.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)若(0,),且f(-)=,求tan(+)的值.解:(1)f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x=cos 2xsin 2x+cos 4x=(sin 4x+cos 4x)=sin (4x+),所以f(x)的最小正周期T=.令2k+4
8、x+2k+,kZ,得+x+,kZ.所以f(x)的单调递减区间为+,+,kZ.(2)因为f(-)=,所以sin(-)=1.因为(0,),-,所以-=,故=.因此tan(+)=2-.15.已知f(x)= (1+)sin2x-2sin(x+)sin(x-).(1)若tan =2,求f()的值;(2)若x,求f(x)的取值范围.解:(1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin(x+)cos(x+)=+sin 2x+sin(2x+)=+(sin 2x-cos 2x)+cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+.由tan =2,得sin 2=.cos 2=-.所以f()=(sin 2+cos 2)+=.(2)由(1)得f(x)=(sin 2x+cos 2x)+=sin(2x+)+.由x,得2x+.所以-sin(2x+)1,所以0f(x),所以f(x)的取值范围是0,.
