1、第6讲平行、垂直的综合问题基础题组练1如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC解析：选D.因为在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC.又AB平面ABC，所以平面ADC平面ABC.
2、2(2019高考全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为 解析：如图，过点P分别作PEBC交BC于点E，作PFAC交AC于点F.由题意知PEPF.过P作PH平面ABC于点H，连接HE，HF，HC，易知HEHF，则点H在ACB的平分线上，又ACB90，故CEH为等腰直角三角形在RtPCE中，PC2，PE，则CE1，故CH，在RtPCH中，可得PH，即点P到平面ABC的距离为.答案：3(2020昆明市诊断测试)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD平面ABCD，ADBD6，AB6，E是棱PC上的一点(
3、1)证明：BC平面PBD；(2)若PA平面BDE，求的值解：(1)证明：由已知条件可知AD2BD2AB2，所以ADBD.因为PD平面ABCD，所以PDAD.又PDBDD，所以AD平面PBD.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BCAD，所以BC平面PBD.(2)如图，连接AC交BD于点F，连接EF，则EF是平面PAC与平面BDE的交线因为PA平面BDE，所以PAEF.因为F是AC的中点，所以E是PC的中点，所以.4(2020内蒙古呼和浩特第一次质量普查)如图，平面四边形ABCD中，ABBD，ABBCCD2，BD2，沿BD折起，使AC2.(1)证明：ACD为直角三角形；(2)设B在平面ACD内的
4、射影为P，求四面体PBCD的体积解：(1)证明：在RtABD中，ABBD，AB2，BD2，所以AD2，因为AC2，CD2，所以AC2CD2AD2，所以ACCD，所以ACD是直角三角形(2)由(1)知CDAC，易知CDBC，因为ACBCC，所以CD平面ABC，又CD平面ACD，所以平面ABC平面ACD，其交线为AC，故过B点作AC的垂线，垂足为P，点P即为B在平面ACD内的射影，易知P为AC的中点，所以四面体PBCD的体积VPBCD221.5.(2020福州市质量检测)如图，四棱锥EABCD，平面ABCD平面ABE，四边形ABCD为矩形，AD6，AB5，BE3，F为CE上的点，且BF平面ACE.
5、(1)求证：AEBE；(2)设M在线段DE上，且满足EM2MD，试在线段AB上确定一点N，使得MN平面BCE，并求MN的长解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以BCAB.因为平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，且BC平面ABCD，所以BC平面ABE.又AE平面ABE，所以BCAE.因为BF平面ACE，AE平面ACE，所以BFAE.又因为BCBFB，BC平面BCE，BF平面BCE，所以AE平面BCE，因为BE平面BCE，所以AEBE.(2)如图，在ADE中过M点作MGAD交AE于G点，在ABE中过G点作GNBE交AB于N点，连接MN，因为NGBE，NG平面BCE，BE平面
6、BCE，所以NG平面BCE.同理可证，GM平面BCE.因为MGGNG，所以平面MGN平面BCE，又因为MN平面MGN，所以MN平面BCE，因为M点为线段DE上靠近D点的一个三等分点，所以N点为线段AB上靠近A点的一个三等分点，AD6，AB5，BE3，所以MGAD4，NGBE1，所以MN.综合题组练1(2020吉林长春质量监测(二)四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，BAD90，CD2AB2，PA平面ABCD，PAAD，M为PC中点(1)求证：平面PBC平面BMD；(2)求点B到平面PCD的距离解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，BD，cosBDCcosDBA，在BCD中，由
7、余弦定理得BC，由勾股定理得PD2，PB，所以PCD，PCB是等腰三角形，所以PCMD，PCMB，因为MDMBM，所以PC平面MDB，因为PC平面PBC，所以平面PBC平面BDM.(2)取PD的中点N，连接AN，MN，所以ANMB为平行四边形，所以BMAN，BMAN1，因为PAAD，所以ANPD，又易知CD平面PAD，AN平面PAD，所以CDAN，所以AN平面PCD，所以BM平面PCD，所以B到平面PCD的距离为1.2(2020郑州市第二次质量预测)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD，PAD是等边三角形，F为AD的中点，PDBF.(1)求证：ADPB；(2)若E在线
8、段BC上，且ECBC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由解：(1)证明：连接PF，因为PAD是等边三角形，所以PFAD.因为底面ABCD是菱形，BAD，所以BFAD.又PFBFF，所以AD平面BFP，又PB平面BFP，所以ADPB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG平面ABCD.由(1)知ADBF，因为PDBF，ADPDD，所以BF平面PAD.又BF平面ABCD，所以平面ABCD平面PAD，又平面ABCD平面PADAD，且PFAD，所以PF平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作HGPF交PC于点G，所以GH平面
9、ABCD.又GH平面DEG，所以平面DEG平面ABCD.因为ADBC，所以DFHECH，所以，所以，所以GHPF，所以VDCEGVGCDESCDEGHDCCEsin GH.3如图(1)，在RtABC中，ABC90，D为AC的中点，AEBD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将ABD沿BD折起，得到三棱锥A1BCD，如图(2)所示(1)若M是FC的中点，求证：直线DM平面A1EF；(2)求证：BDA1F；(3)若平面A1BD平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由解：(1)证明：因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DMEF，又EF平面A1EF，DM平面A1EF，所以DM平面A1EF.(2)证明：因为A1EBD，EFBD且A1EEFE，所以BD平面A1EF.又A1F平面A1EF，所以BDA1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直理由如下：因为平面A1BD平面BCD，平面A1BD平面BCDBD，EFBD，EF平面BCD，所以EF平面A1BD.因为A1B平面A1BD，所以A1BEF，又因为EFDM，所以A1BDM.假设A1BCD，因为CDDMD，所以A1B平面BCD，所以A1BBD，这与A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直
