1、20142015学年度第一学期高三期末考研考试数学试题（理科）第卷【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、圆锥曲线、复数、集合、程序框图、二项式定理等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1、
2、若复数，则（ ）A B C1 D2【知识点】复数的运算L4【答案】【解析】C 解析：，,所以，则选C.【思路点拨】掌握复数的除法运算是解答的关键.【题文】2、若集合，则“”是“”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件A2【答案】【解析】B 解析：若，则，所以充分性不满足，必要性满足,则选B.【思路点拨】判断充分必要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】3、已知函数的最小正周期为，则（ ）A1 B C-1 D【知识点】三角函数的性质C3【答案】【解析】A 解析：因为函数
3、的最小正周期为，所以，则，所以选A.【思路点拨】可先由最小正周期求函数解析式，再代入求所求函数值.【题文】4、在区间内随机取出一个实数，则的概率为（ ）A0.5 B0.3 C0.2 D0.1【知识点】几何概型K3【答案】【解析】D 解析：因为所求事件对应的区间长度为1，所以的概率为，则选D.【思路点拨】由已知条件可知所求概率为几何概型，分别求出所求事件对应的长度区间与总体对应的长度区间，代入公式求值即可.【题文】5、运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）A2014 B2013 C1008 D1007【知识点】程序框图L1【答案】【解析】D 解析：由程序框图可知，所以选D.【思路点拨】遇
4、到循环结构程序框图问题，可依次执行循环体发现所求值的规律，再进行解答.【题文】6、已知实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A2 B0 C-10 D-1 5【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】B 解析：实数满足约束条件对应的平面区域如图为ABO对应的三角形区域，当动直线经过原点时，目标函数取得最大值为z=0，所以选B.【思路点拨】由x,y满足的约束条件求最值问题，通常结合目标函数的几何意义数形结合寻求取得最值的点，再代入目标函数求最值.【题文】7、如图为互相垂直的两个单位向量，则（ ）A20 B C D【知识点】向量的坐标运算F2【答案】【解析】C 解析：分别以的方向为x,y轴方向建立直
5、角坐标系，则，所以选C.【思路点拨】遇到向量的运算时，若直接计算不方便，可建立直角坐标系转化为坐标运算进行解答.【题文】8、湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下一个半径为，深的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ）A B C D 【知识点】球的截面性质G8【答案】【解析】B 解析：设球半径为R，则有,解得R=10，所以球面上的点到冰面的最大距离为R+R2=18cm，则选B.【思路点拨】一般遇到球的截面问题，通常利用球的截面性质寻求截面圆的半径与球半径的关系进行解答.【题文】9、设是等差数列的前n项和，且成等比数列，则等于（ ）A1 B1或2 C1或3 D3【知识点
6、】等差数列 等比数列D2 D3【答案】【解析】C 解析：设等差数列的公差为d，则有，得d=0或d=，若d=0,则，若d=，则，所以选C.【思路点拨】可结合等差数列的求和公式得到公差与首项关系，再求所求的比值即可.【题文】10、已知函数，则它们的图象可能是（ ）【知识点】函数与导数的关系B11【答案】【解析】B 解析：因为二次函数g(x)的对称轴为x=1,所以排除A,D，又因为函数g(x)为函数f(x)的导数，由函数单调性与其导数的关系可排除C，所以选B.【思路点拨】发现函数g(x)与f(x)的导数关系是本题解题的关键.【题文】11、已知，则的取值范围是（ ）A B C D 【知识点】基本不等式
7、E6【答案】【解析】A 解析：因为，当且仅当ba=时等号成立，所以选A.【思路点拨】可结合已知条件把所求的式子进行转化，再利用基本不等式求范围.【题文】12、在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则取得最大值时，内角的值为（ ）A B C D 【知识点】解三角形C8【答案】【解析】D 解析：因为，得，则，所以当时取得最大值，则选D.【思路点拨】结合已知条件利用三角形面积公式及余弦定理把转化为关于角A的三角函数问题，再进行解答即可.第卷【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。【题文】13、已知，则二项式的展开式中的系数为 【知识点】二项式定理J3【答
8、案】【解析】40 解析：因为=2，令r=-2，得r=2，所以的系数为.【思路点拨】一般遇到求展开式中某项或某项的系数问题时，通常利用展开式的通项公式进行解答.【题文】14、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为 【知识点】三视图G2【答案】【解析】 解析：由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥构成，所以其表面积为圆锥的侧面积+圆柱的侧面积+圆柱的一个底面积=.【思路点拨】由三视图求几何体的表面积，可先分析原几何体的特征再进行求值.【题文】15、直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，为弦的中点，为原点，若是以线段为底边的等腰三角形，则直线的斜率为 【知识点】椭圆的几何性质H5【答
9、案】【解析】 解析：因为是以线段为底边的等腰三角形，所以直线OM与直线l的斜率互为相反数，则有，解得k=.【思路点拨】一般遇到椭圆的弦AB的中点M的问题时，可应用结论进行转化求解.【题文】16、设互不相等的平面向量组，满足：；，若，则的取值集合为 【知识点】向量的加法 向量的模F1【答案】【解析】0,2, 解析：由题意知m最大值为4，当m=2时，为以OA,OB为邻边的正方形的对角线对应的向量，其模为，当m=3时，其模为2，当m=4时，其模为0，所以的取值集合为0,2,.【思路点拨】可先结合条件由m=2开始逐步分析所求向量的和向量，再求其模即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解
10、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】17、（本小题满分12分） 在中，内角所对的边分别为，且。（1）求； （2）若，求的周长的最大值。【知识点】解三角形C8【答案】【解析】(1)；(2)21 解析: （1） 因为2分 4分（2）由（1）知， 由,得，7分所以所以，所以周长的最大值为2110分.【思路点拨】在解三角形时，若遇到边角混合条件，通常利用正弦定理或余弦定理先转化为角的关系或转化为边的关系再进行解答.【题文】18、（本小题满分12分） 已知等差数列的前项和为，为等比数列，且，。（1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和。【知识点】等差数列 等比数列 数列求和D2 D3 D
11、4【答案】【解析】(1) an=2n+1，,;(2) Tn=， 解析：(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由题意可得： 3分解得q=2或q=(舍)，d=2 数列an的通项公式是an=2n+1，6分数列bn的通项公式是 7分（2）Tn= 2Tn=9分-Tn=Tn=，12分.【思路点拨】在解答等差数列与等比数列时，可利用其通项公式与前n项和公式得到首项与公差和公比的方程组，通过解方程组求解，遇到数列求和问题，可先确定其通项公式，再结合通项公式特征确定求和思路.【题文】19、（本小题满分12分） 为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元
12、素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如下：规定:当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品。（1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小； （2）从乙厂抽出上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数的分布列及数学期望。【知识点】茎叶图 离散随机变量的分布列与期望I2 K6【答案】【解析】(1) 甲厂平均值大于乙厂平均值；(2) 解析：（1）甲厂平均值为2分 乙厂平均值为4分所以甲厂平均值大于乙厂平均值5分（2）的取值为0，1，2，3. 6分10分所以的分布列为： 0 1 2 3 故的数学期望为12分.【思路点拨】求随机变量的分布列与期望时，可先
13、分析确定随机变量的所有可能取值，再计算各个取值的概率，即可得其分布列，利用期望公式求期望.【题文】20、（本小题满分12分） 在三棱锥中，。 （1）求证：； （2）求二面角的余弦值的绝对值。【知识点】线线垂直 二面角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：（1）设为中点，连结， , ，. -2分同理, ， 平面所以 -5分（2）如图,建立空间直角坐标系.其中ABx轴易得,又、yxOz则，A,， -7分， .设平面的法向量为，则 .平面的一个法向量. -9分,同理可求得平面CBP的一个法向量为.-12分.【思路点拨】证明线线垂直通常利用线面垂直进行证明，求二面角时可通过建立适当的空间
14、直角坐标系，利用平面的法向量的夹角余弦值求二面角的余弦值.【题文】21、（本小题满分13分） 已知：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两个不同的点，过分别作抛物线的切线，且二者相交于点（1）求证：； （2）求的面积的最小值。【知识点】抛物线 直线与抛物线的位置关系 导数的应用H7 H8 B12【答案】【解析】(1)略；(2)4 解析：（1）证明：设LAB：,代入得2分yxABOCF所以6分若k=0，显然7分（或7分）（2）解由（1）知，点C到AB的距离8分.【思路点拨】一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，通常联立方程，结合韦达定理寻求系数关系进行解答.【题文】22、（本小题满分13分） 已知函数（
15、1）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程； （2）设函数在上有且只有一个零点，求的取值范围。（其中为自然对数的底数）【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】(1) (2) 或a 解析: （1）设切点坐标为，则切线的斜率为所以切线的方程为2分又切线过点（1，0），所以有 来源:Zxxk.Com即 解得所以直线的方程为4分（或：设，则单增，单减有唯一解，所以直线的方程为4分)(2）因为，注意到g（1）=0所以，所求问题等价于函数在上没有零点.因为,所以由0000所以在上单调递减，在上单调递增.6分当即时，在上单调递增，所以此时函数g（x）在上没有零点7分当1e，即1a2时，在上单调递减，在上单调递增.又因为g（1）=0,g(e)=e-ae+a，在上的最小值为所以，（i）当1a时，在上的最大值g(e) 0，即此时函数g（x）在上有零点。8分（ii）当 a2时， g(e) 0，即此时函数g（x）在上没有零点.10分当即时，在上单调递减，所以在上满足此时函数g（x）在上没有零点综上，所求的a的取值范围是或a12分.【思路点拨】在求切线方程时应注意在某处与经过某点的切线的区别，由函数的零点个数求参数范围时，可结合函数的单调性与极值进行分析解答.
