1、大题规范满分练(二)三角综合问题 1.(2018全国卷)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB.(2)若DC=2,求BC.【解析】(1)在ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sinADB=.由题意知,ADB90,所以cosADB=.(2)由题意及(1)知,cosBDC=sinADB=.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252=25.所以BC=5.2.已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且mn.(1)求角B的大小.
2、(2)若b=,求a+c的取值范围.【解析】(1)因为m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且mn,所以(2a+c)cos B+bcos C=0,所以cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0,所以2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0.即2cos Bsin A=-sin (B+C)=-sin A.因为A(0,),所以sin A0,所以cos B=-.因为0Bb=,所以a+c(,2.即a+c的取值范围是(,2.3.已知向量a=(1,cos 2x),b=(sin 2x,-),函数f(x)=ab.(1)若f=,求cos 2的值.(
3、2)若x,求函数f的值域.【解析】(1)因为向量a=(1,cos 2x),b=(sin 2x,-),所以f(x)=ab=sin 2x-cos 2x=2sin,所以f(+)=2sin(+-)=-2sin =,则sin =-,cos 2=1-2sin2 =1-2=;(2)由x,则2x-,所以sin,则f(x)-,2,则f(x)的值域为-,2.4.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=.(1)求B.(2)若b=1,求ABC面积的最大值.【解析】(1)由余弦定理可得,=,则=,即sin Acos B=cos Bsin C+sin Bcos C,所以sin Acos B=sin(B+C)=sin A,因为sin A0,则cos B=,所以B=.(2)由余弦定理可知,b2=a2+c2-2accos B,即1=a2+c2-ac,所以1=a2+c2-ac2ac-ac,当且仅当a=c时取等号,则ac=.SABC=acsin B,所以ABC面积的最大值为.
