1、3.2 函数与方程、不等式之间的关系第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系一、函数的零点1.零点的概念：如果函数y=f(x)在实数a处的函数值等于0，即f(a)=0，则a为函数f(x)的零点.2.零点的意义：【思考】(1)函数的零点是点吗？提示：不是，是使f(x)=0的实数x，是方程f(x)=0的根.(2)函数的零点个数、函数的图像与x轴的交点个数、方程f(x)=0根的个数有什么关系？提示：相等.二、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系设f(x)=ax2+bx+c，方程ax2+bx+c=0(a0)的判别式=b2-4ac判别式0=00的解集x|xx2
2、x|x-Rf(x)0的解集x|x1xx2【思考】二次函数f(x)=ax2+bx+c中，二次项系数a0或f(x)0的解集？提示：对于二次项系数是负数(即a0，则一元二次不等式ax2+10无解.()(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为x|x1x0，所以函数有两个零点.(2).因为a0，所以不等式ax2+10恒成立，即原不等式的解集为R.(3).当a0时，ax2+bx+c0的解集为x|x1x2x的解集是()A.x|x5或x-1B.x|x5或x-1C.x|-1x2x，得x2-4x-50，因为x2-4x-5=0的两根为-1，5
3、，故x2-4x-50的解集为x|x5.3.不等式9x2+6x+10的解集是()【解析】选D.不等式可化为(3x+1)20，因此只有x=-，即解集为类型一 函数的零点 【典例】观察下图函数y=f(x)的图像，填空：当x_时，f(x)=0；当x_时，f(x)0；当x_时，f(x)0时，y=f(x)的图像在x轴的上方；当f(x)0的解集是：(2，+)，f(x)0的解集，求不等式f(x)0；当x_时，f(x)0的解集是(-，-5)(-5，-4)(2，+)，f(x)0的解集是(-4，2).答案：-5，-4，2(-，-5)(-5，-4)(2，+)(-4，2)类型二 二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之
4、间的关系 【典例】解下列不等式：(1)2x2+5x-30.(4)-x2+6x-100.【思维引】根据一元二次不等式f(x)0或f(x)0时，求x轴上方部分图像对应的x的集合，当f(x)0，解方程3x2-6x+2=0，得x1=作出函数y=3x2-6x+2的图像，如图所示，由图可得原不等式的解集为(3)因为=0，所以方程4x2+4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=-.作出函数y=4x2+4x+1的图像如图所示.由图可得原不等式的解集为(4)原不等式可化为x2-6x+100，因为=-40或f(x)0，则MN为()A.x|-4x-2或3x7B.x|-4x-2或3x3D.x|x0=x|x3，所以MN
5、=x|-4x-2或3x7.类型三 解简单的高次不等式 【典例】求函数f(x)=(x-2)(2x+1)(3x-7)(x+3)的零点，并作出函数的图像的示意图，写出不等式f(x)0和f(x)0的解集，在x轴下方的部分是f(x)0的解集.【解析】函数的零点为-3，-，2，函数的定义域被这四个点分为五部分，每一部分函数值的符号如下表：x(-，-3)f(x)+-+-+所以函数的示意图如图：根据函数的图像，知不等式f(x)0的解集为(-，-3 不等式f(x)0的解集为【内化悟】解简单高次不等式的关键是什么？提示：将高次不等式右边化为0，左边分解因式求解.【类题通】解简单高次不等式的一般步骤(1)将不等式右边化为0，左边分解因式.(2)计算对应方程的根，求出函数的零点.(3)列表，判断函数在各个区间上的正负.(4)根据函数在各个区间上的正负，画出函数的示意图.(5)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集.【习练破】求函数f(x)=(x+2)(3x-2)(2x-4)的零点，并作出函数的图像的示意图，写出不等式f(x)0的解集.【解析】函数的零点为-2，2，函数的定义域被这三个点分为四部分，每一部分函数值的符号如表：x(-，-2)(2，+)f(x)-+-+所以函数的示意图如图：根据函数的图像，知不等式f(x)0的解集为
