1、1.1.2集合的基本关系1.维恩图用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合的示意图.2.子集和真子集概念定义符号表示示意图子集如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.AB(或BA)读作“A包含于B”(或“B包含A”)概念定义符号表示示意图真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.A B(或B A)读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)【思考】(1)任意两个集合之间是否有包含关系？提示：不一定，如集合A=1，3，B=2，3，这两个集合就没有包含关系.(2)符号“”与“”有什么区别？提示：“”是表示元素与集合之间的
2、关系，比如1N，-1N.“”是表示集合与集合之间的关系，比如NR，1，2，33，2，1.“”的左边是元素，右边是集合，而“”的两边均为集合.3.关于子集和真子集的结论(1)空集是任意一个集合A的子集，即A.(2)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC.(3)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C.4.集合相等与子集的关系(1)如果AB且BA，则A=B.(2)如果A=B，则AB且BA.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)任何集合至少有两个子集.()(2)0，1，22，0，1.()(3)若AB，且AB，则A B.()(4)集合0，1的子集是0，1，0，1.()提示
3、：(1).只有一个子集.(2).0，1，2=2，0，1，所以0，1，22，0，1.(3).若AB，且AB，则A B.(4).也是集合0，1的子集.2.下列图形中，表示MN的是()【解析】选C.根据题意可知，M中的任意一个元素都是N中的元素，故C正确.3.已知集合A=-1，3，m，B=3，4，若BA，则实数m=_【解析】因为BA，B=3，4，A=-1，3，m，比较A，B中的元素可知m=4.答案：4类型一 集合间关系的判断【典例】1.下列各个关系式中，正确的是()A.=0B.QC.3，55，3D.1x|x2=x2.已知集合A=x|x0，B=x|0 x0，所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M有2
4、个元素，所以集合M有22=4个子集.类型三 由集合间的关系求参数的值或取值范围角度1 由集合相等求参数【典例】已知集合A=2，x，y，B=2x，2，y2，且A=B，求x，y的值.【思维引】根据A=B列方程组，解方程求出x，y，检验集合中元素的互异性，求出x，y的值.【解析】因为A=B，所以集合A与集合B中的元素相同，所以或解得或或验证得，当x=0，y=0时，A=2，0，0这与集合元素的互异性相矛盾，舍去.所以x，y的取值为或角度2 由集合之间的包含关系求参数【典例】已知集合A=-2，5，B=m-6，2m-1，若BA，求实数m的取值范围.世纪金榜导学号【解析】(1)当B=时，有m-62m-1，则
5、m-5，此时BA成立.(2)当B时，BA，此时满足解得此不等式组的解集为.由(1)(2)知，实数m的取值范围是(-，-5).【素养探】由集合间的关系求参数问题中，经常利用核心素养中的直观想象，常利用数轴直观展示集合之间的关系，并列出不等式(组)，求参数的值或范围.本例中若将“A=-2，5”改为“A=x|x5”，其余条件不变，求实数m的取值范围.【解析】(1)当B=时，m-62m-1，则m-5，此时满足条件BA.(2)当B时，BA，则或解得-5m11.综合(1)、(2)知，实数m的取值范围是m|m11.【类题通】1.由集合相等求参数取值的方法从集合相等的含义出发，转化为元素间的关系，一是利用分类
6、讨论的方法建立方程组求参数的值，二是利用元素相同，则元素的和与积分别相同，建立方程组求参数的值.需要注意的是解方程组后要代入检验，对不符合题意的参数的值要舍去.2.由集合之间的包含关系求参数的两类问题(1)若集合中的元素是一一列举的，依据集合之间的关系，可转化为解方程(组)求解，此时要注意集合中元素的互异性.(2)若集合中的元素有无限多个，无法一一列举(如不等式的解集)，常借助于数轴转化为不等式(组)求解，此时要注意端点值能否取到.3.由集合之间的包含关系求参数的一个关注点空集是任何集合的子集，因此在解AB(B)的含参数的问题时，要注意讨论A=和A两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面.【
7、习练破】1.已知集合A=1，3，a，B=1，a2-a+1，且BA，则a=_.【解析】因为BA，所以a2-a+1=3或a2-a+1=a.由a2-a+1=3得a2-a-2=0，解得a=-1或a=2，当a=-1时，A=1，3，-1，B=1，3，满足BA，当a=2时，A=1，3，2，B=1，3，满足BA.由a2-a+1=a得a2-2a+1=0，解得a=1，当a=1时，A=1，3，1，不满足集合元素的互异性.综上，若BA，则a=-1或a=2.答案：-1或22.已知集合A=x，xy，x-y，B=0，|x|，y且A=B，求实数x与y的值.【解析】由已知A=B=0，|x|，y，所以0A.若x=0，则A=0，0
8、，-y，不满足元素的互异性；若xy=0，即y=0，则B=0，|x|，0，也不满足元素的互异性.所以只有x-y=0，即y=x.所以A=x，xy，x-y=x，x2，0，B=0，|x|，x.所以x2=|x|，所以x=0(舍)或x=1或x=-1.当x=1时，A=B=1，1，0，不满足元素的互异性，故x1.当x=-1时，A=B=-1，1，0，满足题意.所以x=y=-1即为所求.【加练固】1.已知集合A=(-3，4)，B=m-1，m+1)，且B A.求实数m的取值范围.【解析】因为B A，画出数轴，观察可知解得-2m3，综上，实数m的取值范围为(-2，3.2.已知集合A=1，3，x2，B=1，x+2，是否存在实数x，使得集合B是A的子集？若存在，求出A，B，若不存在，说明理由.【解析】存在.当x+2=3，即x=1时，A=1，3，1不满足元素的互异性，所以x=1(舍).当x+2=x2，即x=2或x=-1.若x=2时，A=1，3，4，B=1，4，满足BA.若x=-1时，A=1，3，1不满足元素的互异性.综上，存在x=2使得BA.此时，A=1，3，4，B=1，4.
