1、专题四取值范围的确定几何背景例1 (2018，石家庄模拟)如图，在矩形纸片ABCD中，AB4，BC3，翻折矩形纸片，使点A落在对角线DB上的点F处，折痕为DE，打开矩形纸片，并连接EF.(1)BD的长为 5 ；(2)求AE的长；(3)在BE上是否存在点P，使得PFPC的值最小？若存在，请你确定点P的位置，并求出这个最小值；若不存在，请说明理由例1题图【思路分析】 (1)根据勾股定理解答即可(2)设AEx，根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可(3)延长CB到点G，使BGBC，连接FG，交BE于点P，确定点P的位置，连接PC，再利用相似三角形的判定和性质，最后利用勾股定理解答即可解：(1)5(2
2、)设AEx.AB4，BE4x.根据折叠的性质，知RtFDERtADE.FEAEx，FDADBC3，EFDA90.BFBDFD532.在RtBEF中，根据勾股定理，得FE2BF2BE2，即x24(4x)2.解得x.AE的长为.(3)存在如答图，延长CB到点G，使BGBC，连接FG，交BE于点P，则点P即为所求连接PC，此时有PCPG.PFPCGF.过点F作FHBC，交BC于点H，则有FHDC.BFHBDC.，即.FH，BH.GHBGBH3.在RtGFH中，根据勾股定理，得GF.所以PFPC的最小值为.例1答图 针对训练1 (2012，河北，导学号5892921)如图，在ABC中，AB13，BC1
3、4，cosABC.【探究】如图，AHBC于点H，则AH 12 ，AC 15 ，ABC的面积为 84 .【拓展】如图，点D在AC上(可与点A，C重合)，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E，F.设BDx，AEm，CFn.(当点D与点A重合时，我们认为SABD0)(1)用含x，m，n的代数式表示SABD及SCBD；(2)求mn关于x的函数解析式，并求mn的最大值和最小值；(3)对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围【发现】请你确定一条直线，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值训练1题图【思路分析】 【探究】先在RtABH中，由A
4、B13，cosABC，可得AH12，BH5，则CH9，再解RtACH，即可求出AC的长，最后根据三角形的面积公式即可求出SABC的值【拓展】(1)由三角形的面积公式即可求解(2)首先由(1)可得m，n，再根据SABDSCBDSABC84，即可求出mn关于x的函数解析式，然后由点D在AC上(可与点A，C重合)，可知x的最小值为AC边上的高，最大值为BC的长，由此便可确定mn的最大值与最小值(3)因为BCBA，所以当以点B为圆心，大于且小于13为半径画圆时，与AC有两个交点，不符合题意故根据点D的唯一性，分两种情况：当BD为ABC的边AC上的高时，点D符合题意当ABBDBC时，点D符合题意【发现】
5、因为ACBCAB，所以使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线解：【探究】121584【拓展】(1)由三角形的面积公式，得SABDBDAExm，SCBDBDCFxn.(2)由(1)得m，n，mn.AC边上的高为，x的取值范围是x14.mn随x的增大而减小，当x时，mn的最大值为15.当x14时，mn的最小值为12.(3)x的取值范围是x或13x14.【发现】ACBCAB，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC边上的高为.这个最小值为. 针对训练2 (2011，河北)如图至中，两平行线AB，CD间的距离均为6，M为AB上一定点【思考】如
6、图，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)，其直径MN在AB上，MN8，P为半圆上一点，设MOP.当 90 时，点P到CD的距离最小，最小值为 2 .【探究一】在图的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图，得到最大旋转角BMO 30 ，此时点N到CD的距离是 2 .【探究二】将图中的扇形纸片NOP按下面对的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转(1)如图，当60时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角BMO的最大值；(2)如图，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定的
7、取值范围训练2题图【思路分析】 【思考】根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案【探究一】根据sinBMO，得到最大旋转角BMO30，此时点N到CD的距离是2.【探究二】(1)由已知得出点M与点P的距离为4，当PMAB时，点P到AB的距离最大，从而点P到CD的距离最小，当弧MP与AB相切时，可得出BMO的最大值(2)当弧MP与CD相切于点P时，可求出的最大值当点P在CD上且与AB距离最小时，可求出的最小值，进而可得出的取值范围解：【思考】902【探究一】302【探究二】(1)如答图，连接MP.60，MOP是等边三角形MPMO4.当PMAB时，点P到AB的距离最大，是4.点M与点P之间的距离为4
8、，点P到CD的最小距离为642.当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，此时旋转角最大，BMO的最大值为90.(2)如答图.由【探究一】可知，当P是弧MP与CD的切点时，最大，即OPCD，此时延长PO交AB于点R，的最大值为OMRORM3090120.如答图，连接MP，作HOMP于点H.当点P在CD上且与AB距离最小，即MPCD时，最小由垂径定理，得MH3.在RtMOH中，MO4.sinMOH.MOH49.2MOH，最小为98.的取值范围为98120.训练2答图例2 (2017，河北，导学号5892921)如图，AB16，O为AB的中点，点C在线段OB上(不与点O，B重
9、合)，将OC绕点O逆时针旋转270后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧 CD 于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.(1)求证：APBQ；(2)当BQ4时，求 弧QD 的长；(3)若APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围例2题图【思路分析】 (1)连接OQ，只要证明RtAPORtBQO即可解决问题(2)求出优弧DQ所对的圆心角以及所在圆的半径即可解决问题(3)由APO的外心是OA的中点，OA8，推出APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4OC8.(1)证明：如答图，连接OQ.AP，BQ是O的切线，OPAP，OQBQ.APOBQO90.在RtAPO和RtBQO中，R
10、tAPO RtBQO.APBQ.(2)解：RtAPO RtBQO，AOPBOQ，P，O，Q三点共线在RtBOQ中，cos B，B30.BOQ60.OQOBAB4.优弧QD的长为.(3)解：APO的外心是OA的中点，OA8，当APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4OC8.例2答图针对训练3 (2018，石家庄模拟)如图，在RtABO中，B90，OAB30，OA3.以点O为原点，斜边OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点P(4，0)为圆心，PA的长为半径画圆，P与x轴的另一交点为N，点M在P上，且满足MPN60，P以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动设运动时间为t s.【发现
11、】(1)弧MN的长度为（ ）；(2)当t2时，求扇形MPN与RtABO重叠部分的面积【探究】当P和ABO的边所在的直线相切时，求点P的坐标【拓展】当弧MN与RtABO的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围训练3题图【思路分析】 【发现】(1)先确定出弧MN所在圆的半径，进而用弧长公式即可得出结论(2)先求出PA1，进而求出AQ，PQ的长，即可用面积公式得出结论【探究】分圆和直线AB、直线OB相切，利用三角函数即可得出结论【拓展】先找出弧MN和RtABO的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论解：【发现】(1)(2)设P的半径为r，则有r431.当t2时，如答图，点N与点A重合，PAr1.设
12、MP与AB相交于点Q.OAB30，MPN60，PQA90.PQPA.AQAPcos 30.S重叠部分SAPQPQAQ，即重叠部分的面积为.【探究】如答图，当P与AB边所在的直线相切于点C时，连接PC，则有PCAB，PCr1.OAB30，AP2.OPOAAP321.点P的坐标为(1，0)如答图，当P与OB边所在的直线相切于点D时，连接PD，则有PDOB，PDr1.PDAB.OPDOAB30.cosOPD，OP.点P的坐标为.如答图，当P与OB边所在的直线相切于点E时，连接PE，则有PEOB，PEr1.同理OP.点P的坐标为.综上所述，当P和ABO的边所在的直线相切时，点P的坐标为(1，0)或或.
13、【拓展】t的取值范围是2t3，4t5.训练3答图针对训练4 (2014，河北，导学号5892921)如图和图，优弧AB所在O的半径为2，AB2.P为优弧AB上一点(点P不与点A，B重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A.(1)点O到弦AB的距离是 1 ，当BP经过点O时，ABA 60；(2)当BA与O相切时，如图，求折痕的长；(3)若线段BA与优弧AB只有一个公共点B，设ABP.确定的取值范围训练4题图 【思路分析】 (1)利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到弦AB的距离利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出ABA.(2)根据切线的性质得到OBA90，从而得到ABA120，就可求出AB
14、P，进而求出OBP30.过点O作OGBP，垂足为G，容易求出BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长(3)根据点A的位置不同，得到线段BA与优弧AB只有一个公共点B时，的取值范围是030或60120.解：(1)160(2)如答图，连接OB，过点O作OGBP，垂足为G.训练4答图BA与O相切，OBAB.OBA90.OBA30，ABA120.ABPABP60.OBP30.BGOBcos 30.OGBP，PGBG.BP2.折痕的长为2.(3)点P不与点A重合，0.由(1)，得当增大到30时，点A在弧AB上当030时，点A在O内，线段BA与优弧AB只有一个公共点B.由(2)，知当增大到60时，BA与O相
15、切，即线段BA与优弧AB只有一个公共点B.当继续增大时，点P逐渐靠近点B，但点P不与点B重合，OBP90.OBAOBP，OBA30，120.当60120时，线段BA与优弧AB只有一个公共点B.综上所述，线段BA与优弧AB只有一个公共点B时，的取值范围是030或60120.函数背景1. 一次函数与反比例函数背景下确定取值范围例3 (2010，河北，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为(4，2)过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB，BC交于点M，N.(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；(2)若反比例
16、函数y(x0)的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；(3)若反比例函数y(x0)的图象与MNB有公共点，请直接写出m的取值范围例3题图【思路分析】 (1)设直线DE的解析式为ykxb，直接把点D，E的坐标代入解析式利用待定系数法即可求得直线DE的解析式先根据矩形的性质求得点M的纵坐标，再代入直线DE的解析式求得其横坐标即可(2)利用点M的坐标求得反比例函数的解析式，根据点N在直线DE上求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是否成立即可(3)满足条件的最内的双曲线的m4，最外的双曲线的m8，所以可得其取值范围解：(1)设直线DE的解析式为ykxb.
17、点D，E的坐标分别为(0，3)，(6，0)，解得直线DE的解析式为yx3.点M在AB边上，B(4，2)，四边形OABC是矩形，点M的纵坐标为2.点M在直线yx3上，2xM3.xM2.M(2，2)(2)y(x0)经过点M(2，2)，m4.y.点N在BC边上，B(4，2)，点N的横坐标为4.点N在直线yx3上，yN1.N(4，1)当x4时，y1，点N在函数y的图象上(3)4m8.针对训练5 (2018，石家庄43中模拟，导学号5892921)在平面直角坐标系中，已知直线yx4和点M(3，2)(1)判断点M是否在直线yx4上，并说明理由；(2)将直线yx4沿y轴平移，当它经过点M关于坐标轴的对称点时
18、，求平移的距离；(3)另一条直线ykxb经过点M且与直线yx4交点的横坐标为n，当ykxb随x的增大而增大时，n的取值范围是 2n3 .【思路分析】 (1)将x3代入yx4，求出y3412，即可得点M(3，2)不在直线yx4上(2)设直线yx4沿y轴平移后的解析式为yx4a.分两种情况进行讨论：点M(3，2)关于x轴的对称点为M1(3，2)；点M(3，2)关于y轴的对称点为M2(3，2)分别求出a的值，得到平移的距离(3)由直线ykxb经过点M(3，2)，把xn，代入yx4求出交点的坐标，再结合k0，得出结果解：(1)点M不在直线yx4上理由：当x3时，y3412，点M(3，2)不在直线yx4
19、上(2)设直线yx4沿y轴平移后的解析式为yx4a.点M(3，2)关于x轴的对称点为M1(3，2)点M1(3，2)在直线yx4a上，234a.a3，即平移的距离为3.点M(3，2)关于y轴的对称点为M2(3，2)点M2(3，2)在直线yx4a上，234a.a5，即平移的距离为5.综上所述，平移的距离为3或5.(3)2n3 针对训练6 (2018，张家口桥东区模拟，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，2)，直线l的解析式为ykx23k(k0)，反比例函数y的图象上有两点M，N，点M，N的纵坐标分别为2，1.(1)当k1时，直线l的解析式为 yx1 ，并直接在坐标系中
20、画出直线l；(2)通过计算说明：点A在直线l上；(3)记y(x0)图象上M，N两点及之间的部分为G.若图象G与直线l有公共点，求k的取值范围训练6题图【思路分析】 (1)将k1代入直线l的解析式即可解决问题(2)将点A的横坐标代入直线l的解析式判断即可解决问题(3)求出M，N两点的坐标，利用待定系数法，求出直线l经过M，N两点时k的值，即可判断解：(1)yx1直线l如答图所示(2)当x3时，y3k23k2.点A在直线l上(3)对于反比例函数y，当y2时，x1.当y1时，x2.M(1，2)，N(2，1)当点M在直线l上时，2k23k.解得k1.当点N在直线l上时，12k23k.解得k.所以满足条
21、件的k的取值范围为1k.训练6答图例4 (2018，秦皇岛海港区一模，导学号5892921)如图，抛物线C1：yx2bxc经过点A(1，0)和点B(5，0)已知直线l的解析式为ykx5.(1)求抛物线C1的解析式、对称轴和顶点坐标；(2)若直线l将线段AB分成13两部分，求k的值；(3)当k2时，直线l与抛物线交于M，N两点，P是抛物线位于直线l上方的一点，当PMN的面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值；(4)将抛物线C1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为C2，如图.直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；直接写出直线l与图象C2有四
22、个交点时k的取值范围例4题图【思路分析】 (1)根据二次函数的交点式可得函数的解析式(2)根据线段的比，可得直线l与x轴的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案(3)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PH.根据三角形的面积，可得二次函数根据二次函数的性质，可得答案(4)根据函数图象的增减趋势，可得答案找到界点，求出l过界点时k的值，可得答案解：(1)抛物线C1：yx2bxc经过点A(1，0)和点B(5，0)，y(x1)(x5)x26x5(x3)24.抛物线C1的解析式为yx26x5，对称轴为x3，顶点坐标为(3，4)(2)直线l将线段AB分成13两部分，l
23、经过点(2，0)或(4，0)02k5或04k5.k或k. 例4答图(3)如答图，设P(x，x26x5)是抛物线位于直线l上方的一点解方程组解得或不妨设M(0，5)，N(4，3)，0x4.过点P作PHx轴交直线l于点H，则H(x，2x5)PHx26x5(2x5)x24x.SPMNPHxN(x24x)42(x2)28.0x4，当x2时，SPMN最大，最大值为8，此时P(2，3)(4)当x1或3x5时，y随x的增大而增大当62k1时，直线l与图象C2有四个交点针对训练7 (2018，保定竞秀区一模，导学号5892921)在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：yx24x3与x轴交于A，B两点(点A在点B
24、的左侧)，顶点为C.(1)求点C和点A的坐标；(2)定义“L双抛图形”：直线xt将抛物线L分成两部分，先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线xt的对称图形，得到的整个图形称为抛物线L关于直线xt的“L双抛图形”(特别地，当直线xt恰好是抛物线的对称轴时，得到的“L双抛图形”不变)当t0时，抛物线L关于直线x0的“L双抛图形”如图所示，直线y3与“L双抛图形”有 3 个交点；若抛物线L关于直线xt的“L双抛图形”与直线y3恰好有2个交点，结合图象，可知t的取值范围是 0t4 ；当直线xt经过点A时，“L双抛图形”如图所示，现将线段AC所在直线沿水平(x轴)方向向右平移，交“L双抛
25、图形”于点P，交x轴于点Q，满足PQAC时，求点P的坐标训练7题图【思路分析】 (1)令y0，得x24x30，然后求得方程的解，从而可得到点A，B的坐标，然后再求得抛物线的对称轴为x2，最后将x2代入可求得点C的纵坐标(2)抛物线与y轴交点坐标为(0，3)，然后作出直线y3，求出交点个数即可将y3代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而可得到直线y3与“L双抛图形”恰好有3个交点时t的值，然后结合函数图象可得到“L双抛图形”与直线y3恰好有2个交点时t的取值范围先证明四边形ACQP为平行四边形，由此得到点P的纵坐标为1，然后由函数解析式可求得点P的横坐标解：(1)令y0，得x24x30.解得x
26、1或x3.A(1，0)，B(3，0)抛物线的对称轴为x2.将x2代入抛物线的解析式，得y1.C(2，1)(2)30t4训练7答图如答图PQAC且PQAC，四边形ACQP为平行四边形点C的纵坐标为1，点P的纵坐标为1.将y1代入抛物线的解析式，得x24x31.解得x2或x2(舍去)点P的坐标为(2，1)针对训练8 (2018，石家庄桥西区一模，导学号5892921)如图，抛物线yx2mx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为(4，0)(1)求抛物线的解析式和点B，C的坐标；(2)判断ABC的形状，并求出ABC的外接圆的圆心坐标；(3)P是抛物线上一动点(不与点C重合)，当ABC
27、与ABP的面积相等时，求点P的坐标；(4)将图中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，如图所示，过点C作直线l平行于x轴，与图象的交点从左到右依次为点D，E，C，F，直接写出新图象在直线l上方部分，y随x增大而增大时x的取值范围训练8题图【思路分析】 (1)利用待定系数法即可解决问题(2)利用勾股定理的逆定理即可判定ABC是直角三角形(3)由ABC与ABP的面积相等，推出点P的纵坐标为2或2，由此即可解决问题(4)求出点E，F的坐标，观察图象即可判定解：(1)A(4，0)在抛物线yx2mx2上，m.抛物线的解析式为yx2x2.令y0，得x2x20.解得x4或x1.B(1，0)令x0，得y2.C(0，2)(2)OA4，OC2，OB1，AB5，AC2，BC.AC2BC2AB2.ACB90，ABC是直角三角形ABC的外接圆的圆心坐标为.(3)如答图训练8答图ABC与ABP的面积相等，CP1AB，P2P3AB.点P的纵坐标为2或2.当y2时，易知P1(3，2)当y2时，x2x22.解得x.P2，P3.(4)3x或x.
