1、课时作业45空间几何体的表面积与体积一、选择题1(2020湖南长沙模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(C)A168B164C488D484解析：根据三视图知，该几何体是底面为等边三角形，高为4的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示，结合图中数据，计算它的表面积是S224344488.2一个球的表面积是16，那么这个球的体积为(B)A B C16 D24解析：设球的半径为R，则S4R216，解得R2，则球的体积VR3.3现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新
2、的底面半径为(B)AB C2D3解析：设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.4(2020江西联考)算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式Vl2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么，近似公式Vl2h相当于将圆锥体积公式中的近似取(C)AB CD解析：Vr2h2hl2h，由，得，故选C5(2020合肥质检)我国古代名著张丘建算经中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈欲斩末为方亭，令上
3、方六尺，问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是(注：1丈10尺)(B)A1 946立方尺B3 892立方尺C7 784立方尺D11 676立方尺解析：解法1：如图，记正四棱台为A1B1C1D1ABCD该正四棱台由正四棱锥SABCD截得，O为正方形ABCD的中心，E为BC的中点，E1为B1C1的中点，设正四棱台的高为x，则由图中SO1E1SOE，得，即，解得x21，所以该正四棱台的体积V(6262020
4、2)213 892(立方尺)，故选B解法2：如解法1中图，记正四棱台为A1B1C1D1ABCD该正四棱台由正四棱锥SABCD截得，O为正方形ABCD的中心，E为BC的中点，E1为B1C1的中点，设截去的正四棱锥的高为x，则由图中SO1E1SOE，得，即，解得x9，所以该正四棱台的体积VV正四棱锥SABCDV正四棱锥SA1B1C1D1202306293 892(立方尺)，故选B6(2020河北九校联考)已知三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为20，则三棱柱的体积为(A)A6B12C12D18解析：设球O的半径为R，
5、则由4R220得R25，由题意知，此三棱柱为正三棱柱，且底面三角形的外接圆与侧面的外接圆大小相同，故设三棱柱的底面边长为a，高为h，如图，取三角形ABC的中心O1，四边形BCC1B1的中心O2，连接OO1，OA，O2B，O1A，由题意可知，在RtAOO1中，OOAOAO2R2，即22R25，又AO1BO2，所以AOBO，即222，由可得a212，h2，所以三棱柱的体积Vh6.故选A7(2020重庆七校联考)已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16，则其底面边长为(B)A18B12C6D4解析：如图，由题意知，球心在三棱锥的高PE上，设内切球的半径为R，则S球4R216，所以
6、R2，所以OEOF2，OP4.在RtOPF中，PF2.因为OPFDPE，所以，得DE2，AD3DE6，ABAD12.故选B8.(2020沈阳质监)如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16，点P在球面上，则四棱锥PABCD体积的最大值为(D)A8BC16D解析：设球的半径为R，由题知4R216，则R2，再设大圆内的矩形长、宽分别为x，y，由题知x2y216，则矩形面积xy8，当且仅当xy时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，四棱锥PABCD的高的最大值为2，故四棱锥PABCD体积的最大值为82，选D二、填空题9(2019江苏
7、卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是10.解析：因为长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，所以CC1S四边形ABCD120，又E是CC1的中点，所以三棱锥EBCD的体积VEBCDECSBCDCC1S四边形ABCD12010.10如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则.解析：由水面高度升高r，得圆柱体积增加了R2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3R2r.故.11一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12.
8、解析：设六棱锥的高为h，则VSh，所以46h2，解得h1.设六棱锥的斜高为h，则h2()2h2，故h2.所以该六棱锥的侧面积为22612.12.(2020石家庄质检)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PB底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB1，APBBAD，则三棱锥PAOB的外接球的体积是.解析：四边形ABCD是菱形，ACBD，即OAOBPB平面ABCD，PBAO，又OBPBB，AO平面PBO，AOPO，即PAO是以PA为斜边的直角三角形PBAB，PAB是以PA为斜边的直角三角形，三棱锥PAOB的外接球的直径为PAPB1，APB，PA2，三棱锥PAOB的外接球的半径为
9、1，三棱锥PAOB的外接球的体积为.三、解答题13现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？解：由PO12 m知，O1O4PO18 m因为A1B1AB6 m，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)，所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)故仓库的容积是312 m3.14(2020成都检测
10、)如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，CD2AB2EF4，M为DF的中点现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC平面AEFD，得到如图所示的多面体在图中，(1)证明：EFMC；(2)求三棱锥MABD的体积解：(1)证明：由题意，可知在等腰梯形ABCD中，ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，EFCD折叠后，EFDF，EFCF.DFCFF，EF平面DCF.又MC平面DCF，EFMC(2)易知AEBE1，DFCF2，DM1，MF1AE.又AEMF，四边形AEFM为平行四边形AMEF，故AMDF.平面BEFC平面AEFD，平面BEFC平面AEFDEF，且BEEF
11、，BE平面AEFDVMABDVBAMDSAMDBE121.即三棱锥MABD的体积为.15(2020广州调研)已知在四面体ABCD中，ADDBACCB1，则该四面体的体积的最大值为.解析：如图，设AB的中点为P，连接PC，PD，因为ADDB，ACCB，所以ABPD，ABPC，又PCPDP，所以AB平面PCD设AB2x(0x1)，则PCPD.于是，V三棱锥ABCDV三棱锥APCDV三棱锥BPCDSPCDAPSPCDBPSPCDAB2x()2sinCPDx()2.设函数f(x)x()2(xx3)，0x1，则f(x)x2，所以当0x0；当x1时，f(x)0.所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，
12、所以f(x)maxf.从而V三棱锥ABCD，当且仅当sinCPD1且x，即平面ABD平面ABC且AB时，不等式取等号故所求四面体的体积的最大值为.16(2020东北三省四市一模)如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E为CD的中点，将ADE沿AE折到APE的位置(1)证明：AEPB；(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O.ABCE，ABCE，四边形ABCE为平行四边形，AEBCADDE，ADE为等边三角形，在等腰梯形ABCD中，CADE，BDBC，BDAE.如图，翻折后可得，OPAE，OBAE，又OP平面POB，OB平面POB，OPOBO，AE平面POB，PB平面POB，AEPB(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，平面PAE平面ABCE.又平面PAE平面ABCEAE，PO平面PAE，POAE，OP平面ABCE.OPOB，PB，APAB1，SPAB，连接AC，则VPABCOPSABC，设点C到平面PAB的距离为d，VPABCVCPABSPABd，d.
