1、第27讲矩形与菱形1. (2010，河北)如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD6，点A表示的数为1，则点B表示的数为 5 .第1题图【解析】 四边形ABCD是矩形，ABCD6.点B表示的数为(1)65.2. (2011，河北)如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上表示的数分别为4和1，则BC 5 .第2题图【解析】 菱形ABCD的顶点A，B在数轴上表示的数分别为4和1，AB1(4)5.BCAB5.3. (2013，河北，导学号5892921)如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，MEAD，NFAB.若NFNM2，ME3，则AN的长为(B)第3题图A. 3 B. 4 C. 5
2、D. 6【解析】 在菱形ABCD中，DACBAC.MEAD，NFAB，AEMAFN90.AFNAEM.，即.解得AN4.4. (2017，河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.求证：ACBD.以下是排乱的证明过程：又BODO，AOBD，即ACBD.四边形ABCD是菱形，ABAD.证明步骤正确的顺序是(B)第4题图A. B. C. D. 【解析】 根据菱形的性质，先得到ABAD和BODO，再根据等腰三角形的“三线合一”证明ACBD.故证明步骤正确的顺序为.矩形的性质与判定例1 (2018，廊坊安次区模拟)如图，在矩形ABCD中，AB3，
3、AD8，E为BC的中点，连接AE，EF是AEC的平分线，交AD于点F，则FD的长为(A)例1题图A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【解析】 四边形ABCD是矩形，ADBC8，ADBC.AFEFEC.EF平分AEC，AEFFEC.AFEAEF.AEAF.E为BC的中点，BC8，BE4.在RtABE中，AB3，BE4，由勾股定理，得AE5.AFAE5.DFADAF853.针对训练1 如图，在矩形ABCD中，AB，BC3，AEBD于点E，则EC的长为(D)训练1题图A. B. C. D. 【解析】 如答图，过点E作EFBC于点F.四边形ABCD是矩形，ADBC3，BAD90.AB，tanADB.
4、ADB30.ABE60.FBE30.在RtABE中，cosABE.BE.在RtBEF中，cosFBE，sin FBE.BF，EF.CF3.在RtCFE中，CE.训练1答图菱形的判定和性质例2 (2018，滨州惠民县模拟)如图，在ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，ABC的平分线交AD于点F.若BF12，AB10，则AE的长为(C)例2题图A. 10 B. 12 C. 16 D. 18【解析】 如答图，设AE和BF交于点O.四边形ABCD是平行四边形，ADBC.DAEAEB.BAD的平分线交BC于点E，DAEBAE.BAEBEA.ABBE.同理ABAF.AFBE.四边形ABEF是平行四边形A
5、BAF，四边形ABEF是菱形AEBF，OAOE，OBOFBF6.OA8.AE2OA16.例2答图针对训练2 如图，在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若AC8，AB10，求菱形ADCF的面积训练2题图【思路分析】 (1)先证得AEFDEB，再求得AFCD，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得ADCD，可证得结论(2)根据条件可证得S菱形ADCFSABC，结合条件可求得答案(1)证明：E是AD的中点，AEDE.AFBC，AFEDBE.在AEF和DEB中，AEFDEB(A
6、AS)AFDB.D是BC的中点，BDCD.AFCD.AFBC，四边形ADCF是平行四边形BAC90，D是BC的中点，ADCDBC.四边形ADCF是菱形(2)解：设AF到CD的距离为h.AFBC，AFBDCD，BAC90，S菱形ADCFCDhBChSABCABAC40.一、 选择题1. (2018，十堰)菱形不具备的性质是(B)A. 四条边都相等 B. 对角线一定相等 C. 是轴对称图形 D. 是中心对称图形【解析】 菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线互相垂直不一定相等2. (2018，上海)已知ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B)A. AB B.
7、AC C. ACBD D. ABBC【解析】 A. AB，AB180，AB90.可以判定这个平行四边形为矩形B. AC不能判定这个平行四边形为矩形C. ACBD，对角线相等，可推出ABCD是矩形D. ABBC，B90.可以判定这个平行四边形为矩形3. (2018，贵阳)如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EFCB，交AB于点F.如果EF3，那么菱形ABCD的周长为(A)第3题图A. 24 B. 18 C. 12 D. 9【解析】 E是AC的中点，EFBC，EF是ABC的中位线EFBC.BC6.菱形ABCD的周长是4624.4. (2018，哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相
8、交于点O，BD8，tanABD，则线段AB的长为(C)第4题图A. B. 2 C. 5 D. 10【解析】 四边形ABCD是菱形，ACBD，AOCO，OBOD.AOB90.BD8，OB4.tanABD，AO3.在RtAOB中，由勾股定理，得AB5.5. (2018，大连)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AB5，AC6，则BD的长是(A)第5题图A. 8 B. 7 C. 4 D. 3【解析】 四边形ABCD是菱形，OAOC3，OBOD，ACBD.在RtAOB中，根据勾股定理，得OB4.BD2OB8.6. (2018，孝感)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC
9、10，BD24，则菱形ABCD的周长为(A)第6题图A. 52 B. 48 C. 40 D. 20【解析】 在菱形ABCD中，BD24，AC10，OB12，OA5.易知AOB90.在RtABO中，AB13.菱形ABCD的周长为4AB52.7. (2018，保定模拟)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，AO的中点若AB6，BC8，则AEF的周长为(C)第7题图A. 6 B. 8 C. 9 D. 10【解析】 四边形ABCD是矩形，ADBC8，BAD90，OBODOAOC.在RtBAD中，BD10，ODOAOB5.E，F分别是AD，AO的中点，EFOD，AE4，A
10、F.AEF的周长为9.8. (2018，遵义)如图，P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFBC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE2，PF8，则图中阴影部分的面积为(C)第8题图A. 10 B. 12 C. 16 D. 18【解析】 如答图，过点P作PMAD于点M，交BC于点N，则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形SADCSABC，SAMPSAEP，SPBESPBN，SPFDSPDM，SPFCSPCN.SPBESDFP288.S阴影8816.第8题答图9. (2018，宿迁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为边CD
11、的中点若菱形ABCD的周长为16，BAD60，则OCE的面积是(A)第9题图A. B. 2 C. 2 D. 4【解析】 如答图，过点D作DHAB于点H.四边形ABCD是菱形，AOCO，ABBCCDAD.菱形ABCD的周长为16，ABAD4.BAD60，DHADsinBAD42.S菱形ABCD428.SACD84.E为边CD的中点，SOCESOCDSACD4.第9题答图10. (2018，枣庄)如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，AEBD，垂足为F，则tanBDE的值是(A)第10题图A. B. C. D. 【解析】 四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC.E是边BC的中点，BEBCAD
12、.ADBC，BEFDAF.EFAF.EFAE.E是边BC的中点，由矩形的对称性，得AEDE.EFDE.设EFx，则DE3x.DF2x.tanBDE.二、 填空题11. (2018，株洲)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长为 2.5 .第11题图【解析】 四边形ABCD是矩形，BDAC10，BODOBD.ODBD5.P，Q分别是AO，AD的中点，PQ是AOD的中位线PQDO2.5.12. (2018，连云港，导学号5892921)如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，HE，EC，GA，GF
13、.已知AGGF，AC，则AB的长为 2 .第12题图【解析】 如答图，连接BD.四边形ABCD是矩形，ADCDCB90，BDAC.G，F分别是CD，BC的中点，CGDG，CFFB，GFBD.AGFG，AGF90.DAGAGD90，AGDCGF90，DAGCGF.ADGGCF.设CFBFa，CGDGb，则.b22a2.a0，b0，ba.在RtGCF中，CF2CG2GF2，即a2b2.3a2.a.b1.AB2b2.第12题答图三、 解答题13. (2018，张家界)在矩形ABCD中，点E在BC上，AEAD，DFAE，垂足为F.(1)求证：DFAB；(2)若FDC30，且AB4，求AD的长第13题图
14、【思路分析】 (1)利用“AAS”证ADFEAB即可得(2)由ADFFDC90，DAFADF90，得DAFFDC30.据此知AD2DF.由(1)知DFAB可得答案(1)证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，B90.AEBDAF.DFAE，DFA90.DFAB.ADEA，ADFEAB.DFAB.(2)解：ADFFDC90，DAFADF90，DAFFDC30.AD2DF.由(1)知DFAB，AD2AB8.14. (2018，乌鲁木齐)如图，在四边形ABCD中，BAC90，E是BC的中点，ADBC，AEDC，EFCD于点F.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB6，BC10，求EF的长第14
15、题图【思路分析】 (1)根据平行四边形和菱形的判定证明即可(2)根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可(1)证明：ADBC，AEDC，四边形AECD是平行四边形BAC90，E是BC的中点，AECEBC.四边形AECD是菱形(2)解：如答图，过点A作AHBC于点H.BAC90，AB6，BC10，AC8.SABCBCAHABAC，AH.E是BC的中点，BC10，CE5.由(1)知四边形AECD是菱形，CDCE5.SAECDCEAHCDEF，EFAH.第14题答图1. (2018，威海)矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若B
16、CEF2，CDCE1，则GH的长为(C)第1题图A. 1 B. C. D. 【解析】 如答图，延长GH交AD于点P.四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，ADCADGCGF90，ADBC2，GFCE1.ADGF.GFHPAH.H是AF的中点，AHFH.在APH和FGH中，APHFGH(ASA)APGF1，GHPHPG.PDADAP1.CG2，CD1，DG1.GHPG.第1题答图2. (2018，达州，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(6，0)，C(0，2)将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为(2，
17、6)第2题图【解析】 如答图，连接OB1，过点B1作B1HOA于点H.由题意，得OA6，ABOC2.tanBOA.BOA30.ABO60.由旋转的性质，可知B1OBBOA30，OB1OB.B1OH60.B1OHABO.在AOB和HB1O中，AOBHB1O.B1HOA6，OHAB2.点B1的坐标为(2，6)第2题答图3. (2018，泰安，导学号5892921)如图，在ABC中，D是AB上的一点，DEAC于点E，F是AD的中点，FGBC于点G，与DE交于点H.若FGAF，AG平分CAB，连接GE，GD.(1)求证：ECGGHD；(2)小亮同学经过探究发现：ADACEC.请你帮助小亮同学证明这一结
18、论；(3)若B30，判断四边形AEGF是否为菱形，并说明理由 第3题图【思路分析】 (1)依据条件得出ACFG，DEBC，进而得出CDHG90，CGEGED，FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GEGD，CGEGDE，利用AAS即可判定ECGGHD.(2)过点G作GPAB于点P.先判定RtCAGRtPAG，可得ACAP.由(1)可得EGDG，即可得到RtECGRtDPG，进而得ECDP，即可得出ADAPPDACEC.(3)依据B30，DEBC，可得ADE30，进而得到AEAD，故AEAFFG.先判定四边形AEGF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形(1)证明：AFFG，FAGFGA.AG
19、平分CAB，CAGFAG.CAGFGA.ACFG.DEAC，FGDE.FGBC，DEBC.ACBC，CGEGED.CDHG90.F是AD的中点，FGAE，H是ED的中点FG是线段ED的垂直平分线GEGD.GDEGED.CGEGDE.ECGGHD.(2)证明：如答图，过点G作GPAB于点P.AG平分CAB，C90，GCGP.AGAG，RtCAGRtPAG.ACAP.EGDG，GCGP，RtECGRtDPG.ECPD.ADAPPDACEC.(3)解：四边形AEGF是菱形理由：B30，DEBC，ADEB30.AEAD.AEAFFG.AEFG，四边形AEGF是平行四边形AEAF，四边形AEGF是菱形第3题答图
