1、6.1.4 数 乘 向 量必备知识自主学习导思1.数乘向量是如何定义的?有怎样的运算律?2.向量共线的条件是什么?1.向量的数乘运算定义实数与向量a相乘的运算简称为数乘向量记法a模|a|=_方向0a方向与a的方向_0a方向与a的方向_|a|相同相反【思考】数乘向量的定义中应该注意什么问题?提示:(1)数乘向量的结果仍是一个向量.a中的实数叫作向量a的系数;(2)不要忽略特殊情况:当=0时,a=0.当0时,若a=0,也有a=0;(3)实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算.2.数乘向量的运算律设,为实数,则(a)=_;特别地,我们有(-)a=-(a)=_.()a(-a)【思考】这里的条件“,为
2、实数”能省略吗?为什么?提示:不能,数乘向量中的,都是实数,只有,都是实数时,运算律才成立.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)3a的方向与a的方向相同,且-2a的方向与a的方向相反.()(2)4a与-4a的模相等.()(3)a与-a的方向相反.()(4)若a,b共线,则存在唯一的实数,使a=b.()2.点C在直线AB上,且,则等于()【解析】选D.如图,所以.3.(教材二次开发:例题改编)已知|a|=1,|b|=3,若两向量方向相反,则向量a与向量b的关系为b=_a.【解析】由于|a|=1,|b|=3,则|b|=3|a|,又两向量反向,故b=-3a.答案:-3关键能力合作
3、学习类型一 数乘向量的定义(数学抽象)【题组训练】1.已知向量a与b反向,且|a|=r,|b|=R,b=a,则的值等于()2.设a是非零向量,是非零实数,则以下结论正确的有_.|-a|a|;a与2a方向相同;|-2a|=2|a|.3.若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则x的取值范围为_.【解题策略】数乘向量与原来向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小.解决数乘向量问题的关键应注意两点:方向是相同还是相反,模长放大还是缩小.【补偿训练】存在两个非零向量a,b,满足b=-3a,则有()A.a与b方向相同B.a与b方向相反C.|a|=|3b|D.|a|=|b
4、|【解析】选B.因为-30时,沿着a的方向扩大(1)或缩小倍;当1)或缩小|倍.【拓展训练】(2020乌鲁木齐高一检测)点C在线段AB上,且,若,则=()【解题指南】根据点C在线段AB上,且,可得C与AB的位置关系,进而根据即可得的值.【点评】本题考查了数乘向量的运算及线段关系的判断,根据题意画出各个点的位置是关键,属于基础题.类型三 数乘向量的应用(数学运算、数学抽象)角度1 判断向量共线【典例】已知a=2e,b=-4e,判断a,b 是否平行,求的值;若ab,说出它们是同向还是反向.【思路导引】利用数乘向量的定义解决.【解析】因为b=-4e=-2 =-2a,所以ab,且2 ,即=12.向量a
5、,b反向.【变式探究】本题若把条件改为“a=2e,b=3e,”其他不变,试求解.【解析】因为b=3e=,所以ab,且,即=23.向量a,b同向.角度2 判断三点共线【典例】已知=e,=-3e,判断A,B,C三点是否共线,如果共线,说出点A是线段BC的几等分点.【思路引导】利用数乘向量的定义解决.【解题策略】数乘向量的应用(1)如果存在实数,使得b=a,则ba.(2)如果存在实数,使得,则,且AB与AC有公共点A,所以A,B,C三点共线.【题组训练】1.已知线段上A,B,C三点满足,则这三点在线段上的位置关系是()【解析】选A.根据题意得到是共线同向的,且BC=2AB.2.若,则下列各式中不正确
6、的是()3.下列结论成立的是()A.a 与a的方向相同B.a 与a的方向相反的充要条件是0 C.与a方向相同的单位向量可表示为D.若平行四边形ABCD的对角线的交点为O,则【解析】选C.当0且a0时,a 与a的方向相反,故A,B不正确;若平行四边形ABCD的对角线的交点为O,则,D不正确;C正确.【补偿训练】设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使成立的条件是()A.a=-bB.abC.a=2bD.ab且|a|=|b|课堂检测素养达标1.下列各式中不表示向量的是()A.0aB.a+3bC.|3a|D.e(x,yR,且xy)【解析】选C.向量的数乘运算结果仍为向量,显然只有|3a|不是向量.2.6()A.化简结果为2aB.与向量a同向C.与向量a反向D.其长度为2【解析】选C.6 =-2a,与向量a反向,其长度为2 .3.(教材二次开发:练习改编)向量-的长度之比为_.【解析】因为,所以=23.答案:234.点C在线段AB上,且【解析】因为C在线段AB上,且,所以方向相同,方向相反,且,所以答案:5.在OAB中,则=_.【解析】因为,所以又,所以=4.答案:4
