1、2排列知识点一排列的定义 填一填一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列有关求排列个数的问题叫作排列问题答一答1如何判断一个问题是排列问题？提示：判断一个问题是否为排列问题的依据是，是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同元素中任取m(mn)个不同元素的问题就是排列问题，而判断它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化则无顺序知识点二排列数公式 填一填把从n个不同的元素中任意取出m(mn)个元素的排列，看成从n个不同的球中选出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，分
2、n步计数，根据乘法原理，共有n(n1)(n2)n(m1)种放法即从n个不同的元素中任意取出m(mn)个元素的排列共有n(n1)(n2)(nm1)种由此，可得排列数公式An(n1)(n2)(nm1)规定A1.当mn时，An(n1)(n2)21.说明：n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列，记作A.我们把n(n1)(n2)21记作n！，读作：n的阶乘，即An！，规定0！1.于是排列数公式写成阶乘的形式为An！,(nm)！.答一答2如何理解和记忆排列数公式？提示：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的排列，一共有A(n1)(n2)(nm1)种，排列数公式中的第一个数是n，依次递
3、减1，最后一个数为(nm1)，共有m个连续自然数相乘1正确理解排列的定义排列的定义包含两个方面的含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”因此，当两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，它们才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列定义中规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况，也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了，否则就变成了取出两个相同元素定义中的“一定顺序”是与位置有关的问题，对有些具体情况，如取出数字1,2,3组成三位数，就与位置有关，因123和132是不同的三位数；
4、但如取出数字1,2,3，考虑它们的和，则与位置无关2“排列”与“排列数”的区别“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事)；排列数是指“从n个不同的元素中取出m个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数比如从a、b、c 3个元素中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一列，有如下几种：ab，ac，ba，bc，ca，cb，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，在这里A6.3排列数公式的两种不同形式的选择排列数公式An(n1)(n2)(nm1)和A在应用时，要根据情况选择除
5、根据具体的已知条件进行选择外，还有当m和n都是较小的整数时，常选择前者；m和n是较大整数时，常选择后者用计算机计算对含有字母的排列数式子进行变形时，也常用后者4解答排列问题的应用题时应注意的问题(1)注意排列的有序性(2)对受条件限制的位置与元素应首先排列，并适当选用直接法或排除法(间接法)(3)从位置出发的“填空法”和不相邻问题的“插空法”是解答排列应用题中常用的有效方法某些元素的相邻问题，常用“捆绑”法，将其看成一个元素(4)要注意通过排列应用题，深化对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解，培养“全局分类”和“局部分类”意识题型一排列数公式的计算 例1计算下列各题(1)A；(2)A9A
6、A；(3).思路探究公式An(n1)(n2)(nm1)常用来求值，特别是m，n均已知的情况；公式A常用来证明或化简解(1)原式1211101 320.(2)原式A8AAAAAAA0.(3)原式1.规律方法 运用排列数公式时应注意以下几点：(1)排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数；(2)排列数公式的阶乘形式主要用于含有排列数的分式形式的计算，或对含有字母的排列数的式子进行化简、证明(1)若A17161554，则n17，m14.(2)若nN，则(55n)(56n)(68n)(69n)用排列数符号表示为A.解析：(1)由An(n1)(n2)(nm1)，得所以(2)若nN，则(55n)(56n
7、)(68n)(69n)A.题型二排列数公式的应用 例2(1)解方程：3A4A；(2)解不等式：A6A.思路探究(1)(2)中排列数的上标不明确，因此，直接利用公式An(n1)(nm1)求解会比较麻烦，而利用公式A求解则比较方便，然后转化为有关的方程或不等式即可解(1)由题意可得，原方程可化为34，化简得3，即x219x780，解得x16，x213.又解得1x8.故原方程的解是x6.(2)由题意可得，原不等式可化为6，化简得1，即x219x840，解得7x12.又解得7x8.又xN，所以x8.规律方法 运用排列数公式时的注意点运用排列数公式时应注意以下两点：(1)排列数公式的连乘形式常用于计算具
8、体的排列数；(2)排列数公式的阶乘形式常用于含有排列数的分式形式的计算或对含有字母的排列数的式子进行化简(1)解方程：A140A；(2)解不等式：A6A.解：(1)x3，xN，由A140A得(2x1)2x(2x1)(2x2)140x(x1)(x2)，化简得，4x235x690，解得，x13或x2(舍)，方程的解为x3.(2)由得3x6，且xN.又A6A6(8x)(7x)6x215x500(x10)(x5)05x1)，客运车票增加了62种，则原有多少个车站？现在有多少个车站？思路探究本题是一道应用题正确找出相等关系是解决本题的关键，同时要考虑到往返两种情况，属排列问题解原有n个车站，原有客运车票
9、A种又现有(nm)个车站，现有客运车票A种由题设知：AA62，(nm)(nm1)n(n1)62，2mnm2m62，n(m1)0，(m1)，62m(m1)，即m2m621，1m，1m8.当m2时，n15.当m3,4,5,6,7,8时，n均不为整数n15，m2.原有车站15个，现有车站17个规律方法 解方程AA62时，注意m、n的限制条件，这样才能将解方程问题转化成解不等式问题，成功的做到消元从六名教师中选四名教师去西藏、新疆、青海、甘肃援教，要求每个省份去一名教师，且这六名教师中甲、乙两名教师不去西藏，则有多少种不同的方案？解：先从六名教师中把甲、乙两名教师去掉，然后从余下的四名教师中选一名教师
10、去西藏的方案有A种，然后从包括甲、乙两名教师在内的五名教师中选三名教师去其他三个省份的方案有A种，所以符合要求的方案为AA240(种)数学思想系列分类讨论思想在排列中的应用例7方程ayb2x2c中的a，b，c3，2,0,1,2,3，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A60条 B62条 C71条 D80条解析显然方程ayb2x2c表示抛物线时，有ab0，故该方程等价于yx2.(1)当c0时，从3，2,1,2,3中任取2个数作为a，b的值，有A20种不同的方法，当a一定，b的取值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4312条，所以此时不同的抛物线共
11、有A614条；(2)当c0时，从3，2,1,2,3中任取3个数作为a，b，c的值有A60种不同的方法，当a，c的值一定，而b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4A24条，所以此时不同的抛物线有A1248条综上所述，满足题意的不同的抛物线有144862条答案B用数字0,1,2,3,4,5能够组成407个没有重复数字且比240 135大的数解析：第一类，首位上的数字分别是3,4,5的符合题意的数有3A个；第二类：首位上的数字是2，第二位上的数字是5的符合题意的数有A个；第三类，首位上的数字是2，第二位上的数字是4，第三位上是1,3,5时，满足题意，共有3A个；第四类，首位上的数字
12、是2，第二位上的数字是4，第三位上的数字是0，第四位上的数字是3,5时，符合题意，共有2A个；第五类，首位上的数字是2，第二位上的数字是4，第三位上的数字是0，第四位上的数字是1，只有1个数符合题意由分类加法计数原理，符合题意的数的个数为：3AA3A2A1407个1有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(3)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，则不同的安排方法数是(B)A120 B60 C125 D6解析：NA54360.2电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的产品广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有(A)A48种 B24种 C720种 D120种
13、解析：分两步：第一步先排首尾，第二步再排中间4个位置，则NAA22448.3AA330.4有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必须担任语文科代表，则不同的选法共有840种(用数字作答)解析：从剩余7人中选出4人担任其他4个学科的科代表，共有A840(种)5五个人排成一排，按下列要求分别有多少种排法？(1)其中甲不站排头；(2)其中甲不站排头，乙不站排尾；(3)其中甲、乙两人必须相邻；(4)其中甲、乙两人必须不相邻(5)其中甲、乙中间有且只有一人；(6)其中甲必须排在乙的右边解：(1)方法一：先排甲，有4种排法，然后排其余4人，有A种排法，
14、故有4A96(种)排法；方法二：先排排头，有4种排法，然后其余4个位置有A种排法，故有4A96(种)排法；方法三：先不考虑排头，则5个人排成一排有A种排法，其中甲在排头有A种排法，所以甲不站排头有AA96(种)排法(2)方法一：若甲在排尾，其余四人有A种排法，若甲排在中间三个位置中的一个，而乙不在排尾，则有AAA54(种)排法，共有A5478(种)排法；方法二：先不考虑排头、排尾，则五个人排一排有A种排法，其中甲在排头有A种排法，乙在排尾有A种排法，甲在排头且乙在排尾共有A种排法故共有A2AA78(种)排法(3)将甲、乙两人看作一个元素，与其他3个元素作全排列有A种排法，然后甲、乙再作全排列有A种排法，故有AA48(种)排法(4)方法一：五个人排成一排有A种排法，由(3)知甲、乙两人相邻的排法有48种，故共有A4872(种)排法；方法二：先排甲、乙以外的三个人，别有A种排法，这三个人之间及两端留出4个空位去排甲、乙两人有A种排法，故共有AA72(种)排法(5)甲、乙两人有A种排法，从剩下的三人中选一人插入甲、乙中间，有A种，然后再将三人看作一个元素，和其他两个元素作全排列，有A种排法，故共有AAA36(种)排法(6)五个人全排列有A种排法，甲在乙的左边的排法种数与甲在乙的右边的排法种数各占一半，故共有A60(种)排法
