1、第2课时函数奇偶性的应用生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什么地方呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又有哪些性质呢？1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函数的图象特征.2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式.(难点）3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性.（重点）直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂微课1 根据函数奇偶性画函数图象偶函数的图象关于y轴对称，如果能够画出偶函数在y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在y轴另一侧的图象.奇函数的图象关于
2、坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。【即时训练】解：已知函数f（x）满足f（5）=-3，分别在条件“f（x）是偶函数”与“f（x）是奇函数”下求出f（-5）的值显然，如果f（x）是偶函数，则f（-5）=f（5）=-3；如果f（x）是奇函数，则f（-5）=-f（5）=3.例3 已知函数f（x）满足f（5）f（3），分别在下列各条件下比较f（-5）与f（-3）的大小：（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）是奇函数。解（1）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），因此f（-
3、5）=f（5），f（-3）=f（3）从而由条件可知f（-5）-f（3），从而f（-5）f（-3）.例3说明，当f（x）具有奇偶性时，函数的单调性会有一定规律.已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，且它们的部分图像如下图所示，补全函数图像，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律。不难看出，如果y=f（x）是偶函数，那么其在x0与x0与x0，所以函数图像在右边的部分一定在第一象限。列出部分函数值如下表所示，然后可以描点作图。例5 求证：二次函数f（x）=x2+4x+6的图像关于x=-2对称.初中时，我们就在观察图像的基础上总结出过这个结论，但当时开没有给出严格的证明.为了证明函
4、数的图像关于x=0（即y轴）对称，只需证明x轴上关于原点对称的两点对应的函数值相等，那么该怎样证明函数的困像关于x=-2对称呢？如下图所示，已知数轴上的A，B两点关于一2对应的点对称，而且点A的坐标是一2+h，则点B的坐标是-2-h证明任取hR，因为f（-2+h）=（-2+h）2+4（-2+h）+6=h2+2，f（-2-h）=（-2-h）2+4（-2-h）+6=h2+2，所以f（-2+h）=f（-2-h），这就说明函数的图像关于x=-2对称。由例5可知，要证明函数图像关于垂直于x轴的直线对称并不难，但怎样才能找到对应的对称轴呢？以例5所示的二次函数为例，注意到f（x）=x2+4x+6=（x+2
5、）2+2，由此就容易得到f（-2+h）=f（-2-h），从而可知f（x）图像的对称轴为x=-2设奇函数f(x)的定义域为-5,5，当x0,5时，函数y=f(x)的图象如图所示，（1）作出函数在-5,0上的图象.（2）求使函数y0的x的取值范围.【变式练习】解：利用奇函数图象的性质，画出函数在5,0上的图象，直接从图象中读出信息由原函数是奇函数，所以yf(x)在5,5上的图象关于坐标原点对称，由yf(x)在0,5上的图象，知它在5,0上的图象，如图所示由图象知，使函数值y0的x的取值范围为(2,0)(2,5)微课2 根据函数的奇偶性求函数解析式例2.已知函数f(x)在（0,+）上的解析式是f(x
6、)=2x+1，根据下列条件求函数在（-，0）上的解析式.（1）f(x)是偶函数；（2）f(x)是奇函数.分析：求函数f(x)在(-，0）上的解析式，就是求当时，如何用含x的表达式表示f(x).能够利用的已知条件是函数在（0，+）上的函数解析式，这样就要把（-，0）上的自变量转化到（0，+）上的自变量.根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函数就是f(x)=f(-x)，这样当时，而在（0，+）上的函数解析式是已知的.对奇函数同样处理.解：（1）当函数f(x)是偶函数时，满足f(x)=f(-x)，当时，所以，当时，(2)当函数f(x)是奇函数
7、时，满足f(x)=-f(-x).当时，所以，当时，-x+1【变式练习】微课3 利用函数的奇偶性研究函数的单调性回顾例1中两个函数的图象从第（1）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律.从第（2）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律.例.已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+）上是减函数，证明函数在（-，0）上也是减函数.分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-，0)上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在(-，0)上的函数值转化到（0，+）上的函数值，再根据函数在
8、（0，+）上是减函数，确定所作的差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的结论.所以-f(x1)+f(x2)0.证明：在（-，0）上任取x1-x20因为函数在（0，+）上是减函数，所以由于函数f(x)是奇函数，所以根据减函数的定义，函数f(x)在（-，0）上是减函数.函数的单调性与奇偶性的关系(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性相反.(2)奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反,且互为相反数;偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等.【总结规律】1.设f(x)是定义在R上的奇函数
9、，f(1)=2,且f(x+1)=f(x+6),那么f(10)+f(4)的值为_.【解析】因为f(x)为奇函数，f(1)=2,f(x+1)=f(x+6),所以f(0)=0,f(-1)=-2,f(10)=f(5)=f(0)=0,f(4)=f(-1)=-2,故f(10)+f(4)=-2.【变式练习】-2例：若f(x)是偶函数，其定义域为(-,+)，且在0,+)上是减函数，则与的大小关系是_.【解题关键】要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小.【解】因为又因为f(x)在0,+)上是减函数,所以又因为f(x)是偶函数，所以所以函数f(x)是偶函数，且在(
10、，0上为增函数，试比较f(2)与f(1)的大小解析：因为f(x)是偶函数，所以f(1)f(1),又因为f(x)在(，0上为增函数，21，所以f(2)f(1)f(1)，即f(2)f(1).【变式练习】核心知识方法总结易错提醒核心素养既奇又偶函数奇函数偶函数定义定义域特征非奇非偶函数图象特征函数奇偶性的几个结论:(1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)=0,有时可用这个结论来否定个函数为奇函数(2)若函数(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)=f(-x)(3)偶偶=偶，奇奇=奇，偶偶=奇奇=偶，奇偶=奇（1）判断函数奇偶性第一步，先判断函数定义域是否关于原点对称（2）注意函数的奇偶性与单调性关系在比较大小中的应用直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养CB【解析】选B.由偶函数定义，f(x)f(x)知，f(x)x2，f(x)x2是偶函数，又在(0，)上是减函数，所以f(x)x2符合条件.B6.已知函数f（x）是定义在-4，4上奇函数，且在-4，4上单调递增若f（a+1）+f（a-3）0，求实数a的取值范围【解析】因为函数f（x）是定义在-4，4上的奇函数，且在-4，4上单调递增若f（a+1）+f（a-3）0，则f（a+1）f（3-a），解得-1a1.但凡人能想象到的事物，必定有人能将它实现。凡尔纳
