1、向量与三角形的四心【知识清单】一、向量与重心1.重心定义：三角形三条中线的交点叫作重心，一般记为G。2.相关结论：（1）G是ABC的重心，则GxA+xB+xC3，yA+yB+yC3；（2）G是ABC的重心，则GA+GB+GC=0；（3）G是ABC的重心，P是ABC所在平面内一点，则PG=13PA+PB+PC；（4）若AP=AB+AC，R，则P在BC边的中线上；（5）G是ABC的重心，则GA2+GB2+GC2最小；（6）G是ABC的重心，则SGAB=SGBC=SGAC=13SABC。3.奔驰定理：若O为ABC内一点，满足mOA+nOB+kOC=0，则SAOB：SBOC：SAOC：SABC=k：m
2、：n：m+n+k。二、向量与垂心1.垂心定义：三角形三条高线的交点叫作垂心。2.相关性质：锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外部。3.与向量相关的表达式：记H为ABC的垂心，则有：（1）H是ABC的垂心HABC=HBAC=HCAB=0；（2）HAHB=HBHC=HCHA；（3）HA2+BC2=HB2+CA2=HC2+AB2；（4）若AP=ABccosB+ACbcosC，R，则P在BC边的垂线上。三、向量与外心1.外心定义：三角形三条边的中垂线（垂直平分线）的交点叫作外心，即三角形外接圆的圆心。2.相关性质：（1）外心到三角形的三个顶点的距离相等
3、；（2）锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。3.相关结论：（1）O为ABC的外心，则OA=OB=OC；（2）O为ABC的外心，则OA+OBAB=OB+OCBC=OA+OCAC=0；4.射影：在圆O中，AB为弦，则AOAB=12AB2。四、向量与内心1.三角形三条角平分线的交点叫作内心，内心即三角形内切圆的圆心，内心到三角形三边距离相等。2.有关内心的向量表达式：记O为ABC的内心，则有：（1）若AP=ABAB+ACAC，R，则P在角A的角平分线上；（2）若O是ABC的内心，则aOA+bOB+cOC=0。证明思路：转化为内心的表达式。由aOA+
4、bOB+cOC=0可得：aOA+bOA+AB+cOA+AC=0aOB+BA+bOB+cOB+BC=0aOC+CA+bOC+CB+cOC=0，a+b+cOA+bAB+cAC=0aBA+a+b+cOB+cBC=0aCA+bCB+a+b+cOC=0，故OA=bca+b+cOBOB+OCOCOB=aca+b+cOAOA+OCOCOC=aba+b+cOAOA+OBOB，OA、OB、OC经过内心，所以O是ABC的内心。1.在ABC中，已知O为ABC所在平面内一点，若OA+OB+OC=0，则O是ABC的（ ）。A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心2.已知O是ABC所在平面上一定点，动点P满足OP=OA+A
5、BABsinB+ACACsinC，0，+，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）。A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心3.已知A、B、C是坐标平面内不共线的三点，O是坐标原点，动点P满足OP=131OA+1OB+1+2OC，R，则点P的轨迹一定经过ABC的（ ）。A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心4.O为ABC内一点且OA+OB+2OC=0，则OBC和ABC的面积比SOBCSABC=_。5.设O为ABC内一点，已知OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA，则SAOB+2SBOC+3SCOASABC=_。6.已知O是ABC所在平面上一定点，动点P满足OP=OA+ABABcosB+ACACc
6、osC，0，+，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）。A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心7.在ABC中，若OAOB=OBOC=OCOA，那么点O是ABC的（ ）。A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心8.点O为ABC所在平面内一点且满足OA2+BC2=OB2+AC2=OC2+AB2，则O是ABC的（ ）。A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心9.已知O是ABC所在平面上一点且满足OA2+BC2=OB2+CA2，则点O（ ）。A.在过点C且与AB垂直的直线上。B.在A的平分线所在直线上。C.在边AB的中线所在直线上。D.以上都不对。10.已知O是ABC所在平面上一定点，动点P满足OP=OB+
7、OC2+ABABcosB+ACACcosC，0，+，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）。A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心11.在ABC中，已知O为ABC所在平面内一点，若OA+OBAB=OB+OCBC=OA+OCAC=0，则点O是ABC的（ ）。A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心12.已知O是ABC所在平面上一定点，动点P满足OP=OA+ABAB+ACAC，0，+，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）。A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心13.在ABC中，已知O为ABC所在平面内一点，若aOA+bOB+cOC=0，其中a、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边长，则点O是ABC的（ ）。A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心14.在ABC中，已知O为ABC所在平面内一点，若PO=aPA+bPB+cPCa+b+c，其中a、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边长，P为ABC所在平面内的任意一点，则点O是ABC的（ ）。A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心题 号1234567答 案DCD14116DB题 号891011121314答 案BAACBAA
