1、8.2 三角恒等变换8.2.1 两角和与差的余弦两角和与差的余弦公式简记符号公式使用条件C-cos(-)=cos cos+sin sin,RC+cos(+)=cos cos-sin sin【思考】(1)两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的?提示:在两角差的余弦公式cos(-)=cos cos+sin sin 中,只要用-替换,便可以得到两角和的余弦公式.(2)两角和与差的余弦公式的结构特征是什么?可用什么口诀记忆?提示:可简单记为“余余正正,符号反”,即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”
2、,错的打“”)(1)cos(70+40)=cos 70-cos 40.()(2)对于任意实数,cos(-)=cos-cos 都不成立.()(3)对任意,R,cos(+)=cos cos-sin sin 都成立.()(4)cos 30cos60+sin 30sin 60=1.()提示:(1).cos(70+40)=cos 110cos 70-cos 40.(2).当=-45,=45时,cos(-)=cos(-45-45)=cos(-90)=0,cos-cos=cos(-45)-cos 45=0,此时cos(-)=cos-cos.(3).结论为两角和的余弦公式.(4).cos 30cos 60+s
3、in 30sin 60=cos(60-30)=cos 30=.2.cos 75cos 15-sin 75sin 15的值等于_.【解析】逆用两角和的余弦公式可得:cos 75cos 15-sin 75sin 15=cos(75+15)=cos 90=0.答案:03.cos 15=_.【解析】cos 15=cos(45-30)=cos 45cos 30+sin 45sin 30答案:类型一 两角和与差的余弦公式的简单应用【典例】1.cos 615的值为()2.计算sin 7cos 23+sin 83cos 67的值为()【思维引】1.把615转化为两个特殊角的差,进一步转化利用两角和的余弦公式求
4、解.2.先利用诱导公式对角进行转化,再逆用两角差的余弦公式求解.【解析】1.选D.cos 615=cos(720-105)=cos 105=cos(45+60)=.2.选B.sin 7cos 23+sin 83cos 67=cos 83cos 23+sin 83sin 23=cos(83-23)=cos 60=.【内化悟】一般地,利用两角和与差的余弦公式可以解决什么类型的题目?提示:(1)求非特殊角的余弦值;(2)求两角的同名三角函数积的和或差.【类题通】利用两角和与差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,后用公式直接求值;(2)充分利用诱
5、导公式,构造两角和与差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.【习练破】求下列各式的值:(1)cos .(2)sin 400sin(-160)+cos 560cos(-220).【解析】(1)cos =cos =-cos =-cos =-cos(2)原式=-sin 40sin 160+cos 200cos 220=-sin 40sin 20+cos 20cos 40=cos 40cos 20-sin 40sin 20=cos 60=.【加练固】1.sin +cos的值为()A.B.1C.D.【解析】选C.原式=2 2cos =2cos =2 .2.cos(-20)cos(40+)+sin(-2
6、0)sin(40+)=_.【解析】cos(-20)cos(40+)+sin(-20)sin(40+)=cos(-20)-(+40)=cos(-60)=.答案:类型二 给值求值问题角度1 代入求值问题【典例】已知sin ,则cos+sin 的值为()A.B.C.2D.-1【思维引】对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可.【解析】选B.cos+sin=2 =2cos =2sin =2sin =2 .【发散拓】常值代换用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能运用相关的公式,我们把这种代换称为常值代换,其中特别要注意的是“1”的代换.如1=sin2+cos2,1=tan 45,1=sin 90等.
7、再如等均可视为某个特殊的三角函数值,从而将常数代换为三角函数使用.【延伸练】cos 15+sin 15=_.【解析】因为=cos 60,=sin 60,所以cos 15+sin 15=cos 60cos 15+sin 60sin 15=cos(60-15)=cos 45=.答案:角度2 角的“拼凑”问题【典例】设,都是锐角,且cos=,sin(+)=,则cos 等于 世纪金榜导学号()A.B.C.D.【思维引】考虑如何用已知角,+的差来表示所求角,进而利用两角差的余弦公式解决.【解析】选A.依题意得sin=,cos(+)=.又,均为锐角,所以0+cos(+).因为,所以cos(+)=.于是co
8、s=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=【素养探】本例主要考查三角函数求值问题,突出考查了数学运算的核心素养.本例若改为:已知,为锐角,且cos=,cos(+)=,求cos 的值.【解析】因为0 ,0 ,所以0+.由cos(+)=,得sin(+)=.又因为cos=,所以sin=.所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin【类题通】1.解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应
9、用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧:2=(+)+(-),=(+)-,=等.【习练破】1.已知为锐角,为第三象限角,且cos=,sin=,则cos(+)的值为()【解析】选B.因为为锐角,且cos=,所以sin=.因为为第三象限角,且sin=,所以cos=,所以cos(+)=cos cos-sin sin=2.已知cos ,则cos+sin 的值为_.【解析】因为cos =cos cos+sin sin=cos+sin=,所以cos+sin=.答案:【加练固】若0 ,-0,cos ,cos ,则cos =()【解析】选C.cos =cos =cos cos +sin sin
10、 ,而+因此sin ,sin 则cos类型三 给值求角问题【典例】已知cos(-)=,sin(+)=,-,+2,求的值.世纪金榜导学号【思维引】先求2的余弦值,再由角的范围确定2及的大小.【解析】因为-,cos(-)=,所以sin(-)=.因为+2,sin(+)=,所以cos(+)=,所以cos 2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.因为-,+2,所以2 ,所以2=,所以=.【内化悟】解决给值求角问题的关键环节是什么?提示:关键环节有两点:(1)求出所求角的某种三角函数值;(2)确定角的范围.做好这两个环节,结合三角函数的性质与图像,角可求解.【类
11、题通】解决给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值;(2)确定角的范围;(3)根据角的范围写出要求的角.【习练破】1.已知sin=,sin=,且和均为钝角,则+=_.【解析】因为,均为钝角,所以cos=cos=所以cos(+)=cos cos-sin sin=由和均为钝角,得+2,所以+=.答案:2.已知sin ,sin ,且-,-,则的值为_.【解析】因为-,所以0 ,因为sin ,所以cos ,因为sin ,所以cos .再由cos =cos=cos cos -sin sin 所以答案:【加练固】已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),(0,)且ab,求-的值.【解析】因为ab,所以ab=0,即cos cos+sin sin=0.从而cos(-)=0.因为,(0,),所以-,所以-=或-.
