1、7.3.2 正弦型函数的性质与图像(二)y=Asin(x+)中,常数A,的实际意义(1)振幅|A|:小球能偏离平衡位置的最大距离.(2)初相:在决定x=0时小球的位置(即Asin)中起关键作用.(3)周期T=:小球完成一次运动所需要的时间.(4)频率f=:单位时间内能够完成的运动次数.【思考】周期与频率的大小有什么关系?提示:周期越大,频率越小;周期越小,频率越大.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)振幅越大,A越大.()(2)函数y=2sin 中,初相是.()(3)小球运动的频率是1s运动50次,则小球运动的周期为s.()提示:(1).振幅越大,|A|越大.(2).初相为
2、.(3).周期T=s.2.函数y=sin(-2x),x0,2的简图是()【解析】选D.y=sin(-2x),x0,2,可得函数的最小正周期为,函数y的图像为两个周期,故A,B均错;由x 可得2x ,y=sin(-2x)0.3.已知电流强度I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系式是I=5sin ,则当t=s时,电流强度I为()A.5AB.2.5AC.2AD.-5A【解析】选B.当t=时,I=5sin =5sin =5cos =2.5(A).类型一 参数A,的实际意义【典例】1.如图所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边的角(-0,0)的形式,再求振幅、周期、初相.应注意A0,0.【习练破】
3、简谐运动y=4sin 的相位、初相、频率是()A.5x-B.5x-,4,C.5x-D.4,2【解析】选C.相位是5x-,当x=0时的相位为初相,即,周期T=,频率f=.类型二 已知图像求正弦型函数的解析式角度1 由图像求解析式【典例】函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的部分图像如图所示,则f(x)=_.【思维引】先求A,再求,最后求.【解析】由图可知,A=2,解得T=,所以=2.所以f(x)=2sin(2x+),所以由f =2sin =2,可得2 +=2k+,kZ,解得=2k+,kZ,因为|0,0,0 )的图像如图所示.(1)求函数f(x)的解析式及单调递减区间.(2)当x 时,方
4、程f(x)=2a-3有两个不等的实根x1,x2,求实数a的取值范围,并求此时x1+x2的值.【思维引】(1)根据图像求出参数值,从而确定解析式,再求单调区间.(2)作出函数f(x)在的图像,数形结合求范围及值.【解析】(1)由题干图知,A=2,T=,=2.由2sin =2,即sin =1,故+=2k+,kZ,所以=2k+,kZ.又 ,所以=,故f(x)=2sin .令+2k2x+2k,kZ,解得+kx +k,kZ,所以f(x)的单调减区间是,(kZ).(2)f(x)=2sin ,x .列表:x02x+f(x)120-1描点作图可得:方程f(x)=2a-3有两个不等实根时,y=f(x)的图像与直
5、线y=2a-3有两个不同的交点.因为12a-32,所以2a ;当x 时,f(x1)=f(x2),故x1+x2=.【类题通】1.根据图像求解析式的方法(1)由图像的最高点、最低点确定最值,从而求A;(2)由图像的零点、最值点确定周期,从而求;(3)由图像上一个点的坐标代入后根据范围求.2.关于正弦型函数的综合应用此类问题主要涉及函数的最值、单调区间、图像、方程等问题,一是利用正弦型函数的性质直接求,比如单调区间、最值,二是结合函数与方程思想,将问题转化求解.【习练破】1.(2020濮阳高一检测)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0，0，|)的图像如图,则点P(,)的坐标是()【解析】选C.根
6、据函数的图像知,A=2,=4-1,所以T=6,所以=,又x=1时f(x)=2,所以x+=+=+2k,kZ,解得=+2k,kZ,又|0,|)的图像与直线y=2两个相邻交点之间的距离为,且当x=取得最大值.(1)求y=f(x)的解析式;(2)先将函数f(x)的图像向左平移个单位,再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍,得到函数g(x)的图像.求g(x)的单调递增区间以及g(x)的x的取值范围.【解析】(1)由已知可得T=,=,所以=2.又f(x)的图像关于x=对称,所以+=+2k,kZ,所以=+2k,kZ,因为0)的部分图像,则f()=_.【解析】根据图像,可得周期T=,那么=2.根据图像过点,可得
7、2sin =-2.令sin =sin ,可得=.那么f()=2sin 答案:类型三 正弦型函数的实际应用【典例】某实验室白天的温度f(t)(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin ,t6,18.(1)求实验室白天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11,则在哪段时间实验室需要降温?世纪金榜导学号【思维引】(1)求出函数的最大值、最小值即可.(2)建立三角不等式求范围.【解析】(1)已知f(t)=10-2sin ,因为6t18,所以,-1sin ,所以f(t)在t6,18上取得最大值12,取得最小值9,故实验室这一天最高温度为12,最低温度为9,最大温差
8、为3.(2)依题意当f(t)11时,实验室需要降温,即10-2sin 11,sin ,所以2k+,kZ,所以24k+10t24k+18,kZ,又因为6t18,所以10tf(x),得sin x .2k+x2k+,kZ,所以8k+3x8k+9,kZ,因为1x12,kZ,所以k=0时,3x9,所以x=4,5,6,7,8;k=1时,11x17,所以x=12.所以x=4,5,6,7,8,12.即其中4,5,6,7,8,12月份能盈利.【加练固】某地人民医院急诊科2019年的住院病人数y(人)是时间t(1t12,tN*,单位:月)的函数,根据资料有如下统计数据:t123456789101112y40373
9、3302724202326313436y与t的函数可以近似看成正弦型函数y=Asin(t+)+b(A,b为正常数且0).(1)求函数的解析式.(2)根据所得函数解析式估计一年中大约有几个月的时间急诊科的住院病人数大于或等于35人.【解析】(1)一年总人数为361人,平均每月为30人,b=30,最多的月为40人,最少的月为20人,相差20人,此为正弦型函数的最大值和最小值之差,即2A=20,A=10,t=1时,正弦函数取最大值:t+=+=,t=7时,正弦型函数取最小值:t+=7+=,解得=,=,所以y=10sin +30.(2)10sin +3035,所以sin ,所以所以-1t3,所以t=-1
10、,1,2,3分别相当于12,1,2,3月(0无意义),每年约有4个月急诊科住院病人数大于或等于35人.类型四 实际应用问题中的正弦型函数模型【实际情境】(2020衡水高一检测)一半径为2 m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面1 m;已知水轮按逆时针做匀速转动,每3s转一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)以水轮所在平面与水面的交线为x轴,以过点O且与水面垂直的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间?【转化模板】1.由题意,点P距离水面的高度呈周期性变化,符合正弦型函数模型
11、,因此可以建立正弦型函数模型求解.2.设水轮上圆心O正右侧的点为A,y轴与水面交点为B,设h=msin(t+)+n.3.如图所示,圆O的半径为2,P是圆上的一个动点,点P从P0位置开始按照逆时针匀速在圆上运动,每3 s转一圈,点P与x轴的距离h(m)与时间t(s)满足函数h=Asin(t+)+B,OB=1,OP0=2,(1)求函数h的解析式;(2)当函数h取得最大值时,求t的最小值.4.(1)因为OB=1,OP0=2,所以BOP0=,故AOP0=,所以=-.设h=2sin +1,则T=3,所以=,所以h=2sin +1(t0).(2)令sin =1,可得+2k,kZ,故t=1+3k,所以当k=0时,t=1.5.(1)h=2sin +1(t0).(2)点P第一次到达最高点大约要1秒.
