1、11.4.2 平面与平面垂直一、二面角1.二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.2.图示与记法图示记法二面角-l-或二面角P-AB-Q或二面角P-l-Q3.二面角的平面角定义图示在二面角-l-的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角【思考】(1)在二面角的定义中,根据“从一条直线出发的两个半平面”,想一想,能否用运动的观点定义二面角?提示:二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成.(2)二面角的平面角的定义中,“棱l上”、“在半平面和内”
2、、“垂直于棱”可以缺少一个吗?提示:这三条是构成二面角的平面角的三要素,缺一不可.实际上,二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角在同一个平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小的惟一性和平面角所在的平面与棱垂直.二、平面与平面垂直1.两个平面垂直的定义如果两个平面与所成角的大小为90,则称这两个平面互相垂直,记作.2.画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.3.面面垂直的判定定理判定定理符号表示图示如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直如
3、果l,l,则4.面面垂直的性质定理性质定理符号表示图示如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面如果,=m,AO,AOm,则AO【思考】(1)由面面垂直的定义中“直二面角”可以想到线线垂直和面面垂直有什么关系?提示:作出二面角的平面角,由二面角的平面角是直角推出两个平面垂直,反之,由两个平面垂直也可以推出二面角的平面角是直角,即实现了线线垂直与面面垂直的相互转化.(2)由面面垂直的判定定理中“l,l”,可以想到线面垂直和面面垂直有什么关系?提示:可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,则面面垂直.因此证明面面垂直可转化为证明线面垂
4、直.(3)性质定理中若去掉在一个平面内即“AO”,定理是否成立?提示:不一定成立,如图,a,这时也有al,但a与不垂直.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.()(2)对于确定的二面角而言,平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.()(3)两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直.()(4)如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线,则.()提示:(1).由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以(1)不对,实质上它共有四个二面角.(2).对于确定的二面角而言,在其棱上任取两个不同的点,分别作这两个
5、二面角的平面角,因为这两个二面角的平面角所在的边分别平行,且它们的方向相同,所以这两个角相等,即平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,只与二面角的张角大小有关,所以该命题错误.(3).不一定.只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面.(4).如图所示,长方体中平面内有一条直线l垂直于平面内的一条直线m,但是平面与平面不垂直.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BC-A1的平面角是()A.ABCB.ABB1C.ABA1D.ABC1【解析】选C.因为ABBC,B1BBC,B1BAB=B,所以BC平面ABB1A1,又因为A1B平面ABB1A1,所以BCA1B,所以ABA1是二面角A-BC-A1的平面角.3.如图所示,在空间四边形ABCD中,若ADBC,ADBD,则有()A.平面ABC平面ADCB.平面ABC平面ADBC.平面ABC平面DBCD.平面ADC平面BCD【解析】选D.因为ADBC,ADBD,BDBC=B,且BC,BD平面BCD,所以AD平面BCD.因为AD平面ADC,所以平面ADC平面BCD.
