1、第2课时 等比数列的性质 必备知识素养奠基1.如果x,G,y是等比数列,那么G为x与y的等比中项,且G2=xy,G=.2.等比数列的项之间的关系等比数列an,m,n,p,qN+两项关系an=_三项关系若 m+n=2p anam=_四项关系若m+n=p+q,则aman=_amqn-mapaq【思考】等比数列两项之间的关系an=amqn-m中,当nm时成立吗?提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=.3.等比数列的单调性递增数列a10_0q0_a10_a110q1【思考】当q=1,q0时,分别是什么数列?提示:当q=1时是常数列;当q0时是摆动数列.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的
2、打“”)(1)等比数列an中a2a6=.()(2)若G是a与b的等比中项,则G=.()(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列.()提示:(1).a2a6=.(2).G=.(3).如0,0,0满足02=00,但不是等比数列.2.若三个正数1,b,16成等比数列,则b=_.【解析】因为三个正数1,b,16成等比数列,所以b=4.答案:43.在等比数列an中,已知a7a12=10,则a8a9a10a11=_.【解析】因为a7a12=a8a11=a9a10=10,所以a8a9a10a11=102=100.答案:100关键能力素养形成类型一 等比中项及其应用【典例】1.若三个实数a
3、,b,c成等比数列,其中a=3-,c=3+,则b=()A.2B.-2 C.2 D.42.设等差数列an的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等()A.2B.4 C.6D.8【思维引】1.利用b是a,c的等比中项求值.2.将ak,a2k用d表示出来,再利用等比中项列式求值.【解析】1.选C.三个实数a,b,c成等比数列,则b2=ac=(3-)(3+)=9-5=4,则b=2.2.选B.因为an=(n+8)d,又因为=a1a2k,所以(k+8)d2=9d(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.【内化悟】等比数列中,a1和a5的等比中项是哪一项?a2和a8呢?提示:a1
4、和a5的等比中项是a3,a2和a8的等比中项是a5.【类题通】应用等比中项解题的两个关注点(1)如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考虑是否能转化为等比中项表示;(2)等比中项一般不唯一,但是如果在等比数列中,还要关注项的关系,如a4是a2,a6的等比中项,而a4=a2q2,因此a4与a2的符号相同.【习练破】-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=_.【解析】设该等比数列的公比为q,因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,所以b2=-1(-25)=25,所以b=5,又因为b=-1q20,所以b=-5,所以abc=b3=-125.答案:-125【加练固】已知数列-1,a1
5、,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,求的值.【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,则a2-a1=d=(-4)-(-1)=-1,因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,所以=(-1)(-4)=4,所以b2=2.若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b20.所以b2=-2,所以=.类型二 等比数列性质的应用【典例】1.若数列an是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,则a11=()A.5 B.C.D.2.已知各项都为正数的等比数列an满足:a3a7=2 ,a3=1,则a2=()A.B.C.D.2【思维引】1.利用a2a5=a1a6转化
6、求值.2.利用a3a7=求出q,进而求出a2.【解析】1.选C.因为数列an是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,所以a1a6=a2a5=20,所以a1,a6是一元二次方程x2-9x+20=0的两个根,且a10,a50,从而a30,且=a1a5=3,所以a3=.类型三 等比数列的实际应用【典例】朱载堉(1536-1611),明太祖九世孙,音乐家、数学家、天文历算家,在他多达百万字的著述中以乐律全书最为著名,在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子.他对文艺的最大贡献是创建了“十二平均律”,此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上,包括钢琴,故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”.“十二平均律
7、”是指一个八度有13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍,设第二个音的频率为f2,第八个音的频率为f8,则等于()A.B.C.D.【思维引】化归成数列中项、公比的问题求解.【解析】选A.依题意13个音的频率成等比数列,记为an,设公比为q,则a13=a1q12,且a13=2a1,所以q=,所以=q6=()6=.【内化悟】在应用性问题中,判断是否为等比数列模型的关键是什么?提示:关键是看增长(缩减)是否按照同一比例.【类题通】关于等比数列在应用问题中的应用首先根据题意判断是否是等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,最后利用等比数列的通项公式计算解
8、题.【习练破】(2020延庆高二检测)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过_年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(参考数据:lg 20.3010)()A.6B.7C.8D.9【解析】选B.设经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10(1+50%)n40(1+20%)n,化为:4,取对数可得:n =6.2.所以至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.【加练固】某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么
9、该单位此年的月平均增长率是_.【解析】由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,因为=m,所以月平均增长率为-1.答案:类型四 等比数列与等差数列的综合应用角度1 灵活设项解题【典例】三个数成等比数列,其积为64,如果第一个数与第三个数各减去1,则这三个数成等差数列,求这三个数.【思维引】利用等比数列设出前三项,表示出等差数列后求未知数.【解析】因为三个数成等比数列,设三个数为,a,aq,则aaq=a3=64,所以a=4,所以三个数为,4,4q,第一个数与第三个数各减去1为-1,4,4q-1,则-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,解得q=2或,所以这三个数为2,4,8或8,4,2
10、.【素养探】在利用等比数列设项解题过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过解方程求公比解题.本例中的条件若改为“其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2”,试求这三个数.【解析】设三个数依次为,a,aq,因为aaq=512,所以a=8.因为+(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=,所以这三个数为4,8,16或16,8,4.角度2 等差、等比数列性质【典例】已知an是等差数列,bn是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,则a2 018+b9=()A.2 274B.2 074C.2 226D.2 026【思维引】分别用等差数列
11、的首项a1、公差d、等比数列的公比q表示出已知条件,求出a1,d,q后求a2 018+b9.【解析】选A.设等差数列an的公差为d,正项等比数列bn的公比为q0,因为b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,解得q=2,a1=d=1,则a2 018+b9=1+2 017+28=2 274.【类题通】等比数列项的设法(1)三数成等比数列常设成,a,aq或a,aq,aq2.(2)若四个数成等比数列,可设为,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设为,aq,aq3.【习练破】设公差不为零的等差数列an满足a3=7,
12、且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则a10等于_.【解析】设等差数列an的公差为d,则d0,则a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),即(6-d)2=(6-2d)(6+d),化简得d2-2d=0,由于d0,解得d=2,因此,a10=a3+7d=7+72=21.答案:21【加练固】已知数列an是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则an的公比为_.【解析】因为数列an是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,所
13、以2a3=(a2-4)+a4,即22q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以an的公比q=2.答案:21.对任意等比数列an,下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列【解析】选D.设等比数列的公比为q,因为=q3,即=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.课堂检测素养达标2.已知数列an是等比数列,若=4,则a5=()A.2B.4C.2D.【解析】选B.根据题意,数列an是等比数列,设其公比为q,若=4,则=a3q2=a5=4.3.(2020全国卷)设an是等比数
14、列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=()A.12B.24C.30D.32【解题指南】根据已知条件求得q的值,再由a6+a7+a8=a1q5(1+q+q2)可求得结果.【解析】选D.设等比数列an的公比为q,则a1+a2+a3=a1 =1,a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q =q=2,因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5 =q5=32.4.(2020景德镇高二检测)在正项等比数列an中,若a3a4a5=3,则sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值为_.【解析】在正项等比数列an中,若a3a4a5=3=,
15、所以a4=.所以sin(log3a1+log3a2+log3a7)=sinlog3(a1a2a7)=sin(log3 )=sin(log3 )=sin =sin =.答案:【新情境新思维】已知数列是等比数列,公比为q,则数列an()A.是等差数列,公差为log3qB.是等差数列,公差为3qC.是等比数列,公比为log3qD.既不是等差数列,也不是等比数列【解析】选A.因为数列是等比数列,所以=q,所以an+1-an=log3q(常数),所以数列an 是等差数列,公差为log3q.课时素养评价八 等比数列的性质【基础练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,
16、选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.已知数列an是等比数列,且每一项都是正数,若a1=1,a2 019=3,则a1 010的值为()A.9B.C.D.3【解析】选B.因为数列an是等比数列,且每一项都是正数,a1=1,a2 019=3,所以,所以a1 010=1q1 009=.2.(2020郑州高二检测)记等比数列an满足2a2-5a3=3a4,则公比q=()A.B.或-2C.2D.【解析】选B.因为等比数列an满足2a2-5a3=3a4,依题意,2a2-5a2q=3a2q2,即3q2+5q-2=0,故(3q-1)(q+2)=0,解得q=或q=-2.3.在3和一个未知数间填上一个数,使三数
17、成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,则此未知数是()A.3或27B.36C.9D.15【解析】选A.设此三数为3,a,b,则解得或所以这个未知数为3或27.4.(多选题)(2020连云港高二检测)已知等比数列an中,满足a1=1,公比q=-2,则()A.数列2an+an+1是等比数列B.数列an+1-an是等比数列C.数列anan+1是等比数列D.数列log2|an|是递减数列【解析】选BC.因为等比数列an中,满足a1=1,公比q=-2,所以an=1(-2)n-1=(-2)n-1.由此可得2an+an+1=2(-2)n-1+(-2)n=0,A错误;an+1-an=(-2)n-(-2)n
18、-1=-3(-2)n-1,故数列an+1-an是等比数列,B正确;anan+1=(-2)n-1(-2)n=(-2)2n-1,故数列anan+1是等比数列,C正确;log2|an|=log22n-1=n-1,故数列log2|an|是递增数列,D错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列an满足log2an+1-log2an=1,则=_.【解析】因为log2an+1-log2an=1,所以=2,所以数列an是公比q为2的等比数列,所以=q2=4.答案:4【加练固】已知数列an满足an+1=3an,且a2a4a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9=()A.5B.6C.8D.1
19、1【解析】选D.根据题意,数列an满足an+1=3an,则数列an为等比数列,且其公比q=3,若a2a4a6=9,则(a4)3=a2a4a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9=log3(a5a7a9)=log3(a7)3=log3(a4q3)3=11.6.已知公比为q的等比数列an中,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则公比q=_.【解析】由已知可得a2+a3+a4=14,a2+a4=2a3+2,所以a3=4,a2+a4=10,所以 ,即2q2-5q+2=0解得q=2或q=.答案:2或三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知等差数列an的前n项和为Sn
20、,公差为d.(1)若d=1且S5=a1a9,求数列an的通项公式;(2)若a1,a3,a4成等比数列,求公比q.【解析】(1)因为d=1且S5=a1a9,所以5a1+1=a1(a1+8),解得a1=-5,或a1=2,当a1=-5时,an=-5+n-1=n-6,当a1=2时,an=2+n-1=n+1.(2)因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),整理可得d(a1+4d)=0,则d=0或a1=-4d,当d=0时,公比q为1,当d0,a1=-4d时,q=.8.(2020武汉高二检测)若等比数列an的前n项和为Sn,满足a4-a1=S3,a5-a1=1
21、5.(1)求数列an的首项a1和公比q;(2)若ann+100,求n的取值范围.【解析】(1)因为a4-a1=S3,a5-a1=15.显然公比q1,所以,解得q=2,a1=1.(2)由(1)可得an=2n-1,因为ann+100,即2n-1n+100,验证可得,n8,nN+.【能力练】(15分钟30分)1.(5分)(2020崇左高二检测)在等比数列an中,若a2+a5=3,a5+a8=6,则a11=()A.4B.8C.16D.32【解析】选B.因为a2+a5=3,a5+a8=6,所以q3=2,因为a2+a5=a2(1+q3)=3,所以a2=1,则a11=a2q9=123=8.2.(5分)两个公
22、比均不为1的等比数列an,bn,其前n项的乘积分别为An,Bn,若=2,则=()A.512B.32C.8D.2【解析】选A.因为A9=a1a2a3a9=,B9=b1b2b3b9=,所以=512.3.(5分)在正项等比数列an中,an+1an,a2a8=6,a4+a6=5,则=_.【解析】因为数列an是正项等比数列,且a2a8=6,a4+a6=5,所以a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,联立得a4=2,a6=3或a4=3,a6=2,因为an+10).数列bn满足bn=anan+1(nN+).(1)若an是等差数列,且b3=12,求a的值及an的通项公式;(2)当bn是公比为a-1的等比数列时,an能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为an是等差数列,a1=1,a2=a,bn=ana n+1,b3=12,所以b3=a3a4=(a1+2d)(a1+3d)=(1+2d)(1+3d)=12,即d=1或d=-,又因为a=a1+d=1+d0,得d-1,所以d=1,a=2,所以an=n.(2)an不能为等比数列,理由如下:因为bn=anan+1,bn是公比为a-1的等比数列,所以=a-1,所以a3=a-1,假设an为等比数列,由a1=1,a2=a得a3=a2,所以a2=a-1,所以此方程无解,所以数列an一定不为等比数列.本课结束
