1、第1课时 等比数列的定义必备知识素养奠基1.等比数列一般地,如果数列an从第_项起,每一项与它的_之比都等于_常数q,即_恒成立,则称an为等比数列,其中q称为等比数列的公比.前一项同一个2【思考】(1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”.(2)怎样利用递推公式表示等比数列?提示:=q(n2)或=q(q0).2.等比数列的通项公式首项为a1,公比是q(q0)的等比数列的通项公式为_.3.等比数列的通项公式与函数由an=a1qn-1=qn,记f(x)=qx,可看成an=f(n),而且(1)当公比q=1时,f(x)是常数函数,此时
2、数列an是_(因此,公比为1的等比数列为_);(2)当公比q1时,f(x)是与y=qx的乘积,此时,f(x)的增减性既与a1有关,也与q有关.常数列常数列【思考】等比数列的单调性与a1和q有什么关系?提示:递增数列a10,q1a10,0q0,0q1a114.两个结论(1)数列an是等比数列的充要条件是_,其中k,q都是不为0的常数;(2)等比数列中,所有奇数项的符号_,所有偶数项的符号_.an=kqn 相同相同【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等比数列.()(2)当等比数列的公比q1时,一定是递增数列.()
3、(3)等比数列an中,a1,a4,a7,a10,仍然是等比数列.()提示:(1).应等于同一个常数.(2).当数列的公比q1时,若a10,则是递减数列.(3).a1,a4,a7,a10,是以a1为首项,q3为公比的等比数列.2.等比数列an的公比q=-,a1=,则数列an是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选D.由于公比q=-0,解得a1=,q=2,所以公比q=2.3.设等比数列的首项为a1,公比为q,因为a2-a3=-2,a1+a3=,所以两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,由公比q为整数可得,q=3,a1=.所以an=3n-2.答案:3n-2【内化悟】计算等比数
4、列的基本量时常用到哪种运算?提示:常用到两式相除.【类题通】关于等比数列基本量的运算(1)基本量:a1,q,n,an;(2)联系:基本量之间的联系就是通项公式an=a1qn-1,将条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算.【习练破】1.(2020天津高二检测)在等比数列an中,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则a5=()A.12B.18C.24D.36【解析】选C.根据题意,在等比数列an中,设其公比为q,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则6-6q2+6q4=78,解得q2=4或q2=-3(舍),故a5=6q2=24.2.(2020开封高二检测)设等比数列an满足a1+a2
5、=-1,a1-a3=-3,则a1=()A.1B.2C.-D.-1【解析】选A.设等比数列an的公比为q,因为a1+a2=-1,a1-a3=-3,所以a1(1+q)=-1,a1(1-q2)=-3,显然q1,解得a1=1,q=-2.【加练固】已知an=625,n=4,q=5,求a1.【解析】a1=5,故a1=5.类型二 等比数列的判定角度1 利用定义证明等比数列【典例】已知数列an满足a1=1,2an+1=3an+1.证明:an+1是等比数列.【思维引】证明为常数,或整体构造证明.【证明】方法一:因为2an+1=3an+1,所以an+1=an+,=,所以=.方法二:因为2an+1=3an+1,所以
6、2an+1+2=3an+1+2,即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),所以=.所以是以为公比的等比数列.【素养探】在利用定义法证明等比数列的过程中,常常用到核心素养中的逻辑推理,利用等比数列的定义进行证明.若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变,证明:an+1是等比数列.证明:因为an+1=2an+1,所以=2,所以an+1是以2为公比的等比数列.角度2 已知Sn与an的关系证明等比数列【典例】已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=an+b(nN+,bR,b0).(1)求证:an是等比数列;(2)求证:an+1不是等比数列.【思维引】(1
7、)消去Sn,利用an,an-1的关系证明;(2)算出数列的前三项进行证明.【证明】(1)因为Sn=an+b,所以当n2时Sn-1=an-1+b,两式相减得Sn-Sn-1=an+b-an-1-b,所以an=an-an-1,所以an=3an-1,又a1=-2b0,故an是公比为q=3的等比数列.(2)令n=1,则S1=a1+b,所以a1=-2b,所以a2=-6b,a3=-18b,所以数列an+1的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,(a2+1)2=1+36b2-12b.(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,因为b0,所以(a2+1)2(a1+1)(a3+
8、1),故数列an+1不是等比数列.【类题通】关于等比数列的证明(1)定义法涉及an+1,an,an-1的式子,将关系式代入后证明或(n2)为常数.涉及Sn与an的式子,则利用an=Sn-Sn-1,n2,消去Sn,判断an,an-1或an+1,an的关系证明.(2)等比中项法证明=an-1an+1(n2)即可,常用于证明表达式较为复杂的三项成等比数列.【习练破】(2020西城高二检测)已知等比数列an的前n项和Sn=p-23-n,其中nN+.(1)求p的值及数列an的通项公式;(2)判断数列 和nan是否为等比数列?证明你的结论.【解析】(1)设等比数列an的公比为q.因为Sn=p-23-n,所
9、以S1=a1=p-4,S2=a1+a2=p-2,S3=a1+a2+a3=p-1,所以a1=p-4,a2=2,a3=1,因为数列an为等比数列,所以q=,所以=,所以p=8,a1=4,所以an=4 =23-n;(2)数列 是等比数列,nan不是等比数列.证明如下:由(1)得=(23-n)2=43-n,所以=,所以数列 是以为公比的等比数列,由(1)可得,nan=n23-n,其前3项分别为4,4,3构不成等比数列,故nan不是等比数列.【加练固】已知数列an是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn=,求证数列bn是等比数列,并求其通项公式.【解析】由已知得an=2+(n-1)(-1)=3-n,故=
10、2,所以数列bn是等比数列.因为b1=,所以bn=2n-3.1.已知数列an是等比数列,且a1=1,a4=8,则a6=()A.15B.24C.32D.64【解析】选C.由a1=1,a4=8可得公比q=2,故a6=a1q5=32.课堂检测素养达标2.在等比数列an中,a1+a2=6,a3=3,则公比q的值为()A.-B.-1C.-或1 D.-或-1【解析】选C.因为a1+a2=a1(1+q)=6,a3=a1q2=3,所以=2,整理,得2q2-q-1=0,解得q=1,或q=-.3.已知数列an中,an+1=2an,且a3=12,则a1=_.【解析】因为an+1=2an,所以=2,所以公比为2,因为
11、12=a3=2a2,所以a2=6.因为6=a2=2a1,所以a1=3.答案:34.若等比数列an满足a1=,a2a3=2,则a7=_.【解析】设等比数列an的公比为q.因为等比数列an满足a1=,a2a3=2,所以q q2=2,解得q=2,所以a7=26=32.答案:32【新情境新思维】已知等比数列an,则下面对任意正整数k都成立的是()A.akak+10B.akak+20C.akak+1ak+20D.akak+30【解析】选B.根据题意,依次分析选项:对于A,当q0时,ak与ak+1异号,则akak+10,B正确;对于C,akak+1ak+2=(ak+1)3,则akak+1ak+20不一定成
12、立,C错误;对于D,akak+3=q3,则akak+30不一定成立,D错误.课时素养评价七 等比数列的定义【基础练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在等比数列an中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,则a4=()A.3B.9C.27D.36【解析】选C.根据题意,设等比数列an的公比为q,若2a2为3a1和a3的等差中项,则有22a2=3a1+a3,变形可得4a1q=3a1+a1q2,即q2-4q+3=0,解得q=1或3;又a2-a1=2,即a1(q-1)=2,则q=3,a1=1,则an=3n-1,则有a4=33=27.2.(2020海淀高二检测)公比q
13、=2的等比数列an满足a3+a5=4,则a4+a6=()A.8B.10C.12D.16【解析】选A.公比q=2的等比数列an满足a3+a5=4,则a4+a6=q(a3+a5)=24=8.3.在等比数列an中,若a6=8a3=8 则an=()A.2n-1 B.2nC.3n-1 D.3n【解析】选A.若a6=8a3=8 ,所以a2q4=8a2q=8,所以a2=q,q3=8,即q=2,a1=1,所以an=12n-1=2n-1.4.(2020泉州高二检测)已知各项均为正数的等比数列an单调递增,且a1a3=36,a1+a2+a3=26,则a4=()A.24B.36C.48D.54【解析】选D.由a1a
14、3=36,an0,得a2=6,因为a1+a2+a3=26,所以a1+a3=20,因为a11,则a10时即可满足等比数列an递增,若q0,a70,a50,所以因为a50,所以上式可化为a52,当且仅当a3=,a7=时等号成立.2.已知an是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列bn满足b1=1,b4=6,且an-bn是等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若任意nN+,都有bnbk成立,求正整数k的值.【解析】(1)设an的公差为d,则d=4,所以an=2+(n-1)4=4n-2,故an的通项公式为an=4n-2(nN+).设cn=an-bn,则cn为等比数列.c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8,设cn的公比为q,则q3=8,故q=2.则cn=2n-1,即an-bn=2n-1.所以bn=4n-2-2n-1(nN+).故bn的通项公式为bn=4n-2-2n-1(nN+).(2)由题意,bk应为数列bn的最大项.由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2n-1(nN+).当n0,bnbn+1,即b1b23时,bn+1-bnbn+1,即b4b5b6所以k=3或k=4.本课结束
