1、5.2.1 等 差 数 列 第1课时 等差数列的定义必备知识素养奠基1.等差数列的定义(1)条件:数列an从第_项起.每一项与它的_之差都等于_常数d.即an+1-an=d恒成立.(2)结论:数列an是等差数列.(3)相关概念:d称为等差数列的_.2前一项同一个公差【思考】(1)为什么强调“从第2项起”?提示:第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.(2)如何理解“每一项与前一项的差”?提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.2.等差数列的通项公
2、式递推公式通项公式_=d(nN+)an=_(nN+)an+1-ana1+(n-1)d3.等差数列的通项公式与一次函数由an=a1+(n-1)d=nd+a1-d,记f(x)=dx+a1-d,可看成an=f(n),而且(1)当公差d=0时,f(x)是常数函数,此时数列an是_(因此,公差为0的等差数列为常数列);(2)当公差d0时,f(x)是一次函数,而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此d0时,an是_数列;当d0时,an是_数列.常数列递增递减4.公差d的几何意义因为d=,n,mN+,nm,故d可以看作过_.5.重要结论数列an是等差数列的充要条件是am=kn+b,其中k,b是常数.(n
3、,an),(m,am)两点的直线的斜率【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列.()(2)常数列也是等差数列.()(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.()(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.()提示:(1).如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.(2).因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数0.(3).只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.(4).若a,b,c满足2b=a
4、+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.2.下列数列是等差数列的是()A.,B.1,C.1,-1,1,-1D.0,0,0,0【解析】选D.因为-,故排除A;因为-1 -,故排除B;因为-1-11-(-1),故排除C.3.已知等差数列an的首项a1=2,公差d=3,则数列an的通项公式为()A.an=3n-1B.an=2n+1C.an=2n+3D.an=3n+2【解析】选A.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)3=3n-1.4.等差数列an中,若a4=13,a6=25,则公差d等于()A.5B.6C.7D.8【解析】选B.因为an为等差数列,所以a6=a4+2d,即25=13+2d,
5、解得d=6.关键能力素养形成类型一 等差数列的定义及应用【典例】1.已知数列an满足an+1-an=2,nN+,且a3=3,则a1=_.2.已知数列an满足a1=2,an+1=(nN+),bn=(nN+).求证数列bn是等差数列,并求出首项和公差.【思维引】1.由an和an+1的关系判断数列an是等差数列及其公差,由第三项求第一项;2.根据要证结论,方法一:将已知等式变为=某常数的形式,方法二:bn+1-bn是常数.【解析】1.因为an+1-an=2,nN+,所以数列an是等差数列,其公差为2,因为a3=a1+22=3,所以a1=-1.答案:-12.方法一:因为所以,所以=3,又因为bn=(n
6、N+),所以bn+1-bn=3(nN+),且b1=所以数列bn是等差数列,首项为,公差为3.方法二:因为bn=,且an+1=,所以bn+1=bn+3,所以bn+1-bn=3(nN+),b1=.所以数列bn是等差数列,首项为,公差为3.【素养探】在与等差数列定义有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理,通过研究一个数列中任意相邻两项an+1与an(nN+)的关系,判定该数列是否为等差数列,培养学生推理、论证的能力.将本例2的条件“a1=2,an+1=”改为“a1=,anan-1=an-1-an(n2)”,其他条件不变,如何解答?【解析】因为anan-1=an-1-an(n2),所以=
7、1(n2).又因为bn=,所以bn-bn-1=1(n2)且b1=2.所以数列bn是等差数列,其首项为2,公差为1.【类题通】定义法判定数列an是等差数列的步骤(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列an是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列an不是等差数列.【习练破】若数列an的通项公式为an=10+lg2n(nN+),求证:数列an为等差数列.【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,所以an+1=10+(n+1)lg2.所以an+1-an=10+(n+1)lg2-(10+nlg2)=lg2(nN+)
8、.所以数列an为等差数列.【加练固】1.以下选项中构不成等差数列的是()A.2,2,2,2B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3aC.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3D.a-1,a+1,a+3【解析】选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.2.判断下列数列是否为等差数列.(1)an=3n+2.(2)an=n2+n.【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数),n为任意正整数,所以此数列为等差数列.(2)因为an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2(不是常数),所以此数列不是等差
9、数列.类型二 等差数列的通项公式及应用【典例】1.有穷等差数列5,8,11,3n+11(nN+)的项数是()A.nB.3n+11C.n+4D.n+32.已知数列an中,a1=2,a2=1,又数列为等差数列,则an=_.3.等差数列an中,已知a3=10,a12=31.(1)求a1,d及通项公式an;(2)45和85是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项?【思维引】1.方法一:设此等差数列有x项,利用等差数列的通项公式推出x与n的关系.方法二:由31+11=14,32+11=17,3n+11判断该等差数列有多少项.2.先求,再求an.3.(1)由已知列关于首项与公差的方程组,求解可
10、得首项与公差,则通项公式可求;(2)分别把45和85代入等差数列的通项公式,即可得到45是第18项,85不是数列中的项.【解析】1.选D.方法一:设此等差数列有x项,则3n+11=5+(x-1)3,所以x=n+3.方法二:在3n+11中令n=1,结果为14,它是这个数列的第4项,前面还有5,8,11三项,故这个数列的项数为n+3.2.因为数列an中,a1=2,a2=1,所以,又数列为等差数列,所以其公差d=,所以所以an=.答案:3.(1)在等差数列an中,由a3=10,a12=31,得解得所以an=(2)由an=n+3=45,解得n=18,故45是第18项;由an=n+3=85,得n=N+,
11、故85不是数列中的项.【内化悟】构成等差数列的基本量是什么?解答等差数列计算问题的常规方法是什么?提示:基本量是a1和d,根据已知条件列出关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而求出通项公式an=a1+(n-1)d.【类题通】等差数列通项公式的四个主要应用(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.(4)若数列an的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列an是等差数
12、列.【习练破】1.(2020连云港高二检测)若等差数列an的前三项依次为x,1-x,3x,则a2 022的值为()A.672B.673C.674D.675【解析】选C.依题意,x,1-x,3x成等差数列,所以2(1-x)=x+3x,解得x=,所以数列an的公差d=(1-x)-x=,所以a2 022=a1+(2 022-1)d=674.2.等差数列1,-1,-3,-89的项数是_.【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)(-2),所以n=46.答案:46【加练固】1.2 000是等差数列4,6,8,的()A.第998项 B.第999项C.第1 001项D.
13、第1 000项2.在等差数列an中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=_,公差d=_.3.已知等差数列1,-3,-7,-11,求它的通项公式及第20项.【解析】1.选B.因为此等差数列的公差d=2,所以an=4+(n-1)2,即2 000=2n+2,所以n=999.2.设首项为a1,公差为d,则有即解得a1=-2,d=3.答案:-233.由题意可知a1=1,a2=-3,所以公差d=a2-a1=-4.所以an=a1+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n.所以a20=5-420=-75.即该数列的通项公式为an=5-4n,第20项为-75.1.数列an的通项公式an=2n+5,则此数列
14、()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列【解析】选A.因为an=2n+5,所以an-1=2n+3(n2),所以an-an-1=2n+5-2n-3=2(n2),所以数列an是公差为2的等差数列,a1=21+5=7.课堂检测素养达标2.在等差数列an中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于()A.3B.-6C.4D.-3【解析】选B.由题意,解得d=-6.3.已知等差数列2,5,8,11,则23是这个数列的()A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【解析】选D.等差数列2,5,8,11,的首项为2,公差为3,所以通项公式an=2+
15、3(n-1)=3n-1.令3n-1=23,所以n=8.4.已知数列an满足a1=2,an+1-an+1=0(nN+),则此数列的通项an=_.【解析】因为an+1-an+1=0(nN+),即an+1-an=-1,所以数列an是等差数列,公差为-1,又因为a1=2,所以an=2-(n-1)=3-n.答案:3-n【新情境新思维】等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,求b1+b2+b10,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.【解析】(1)设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.所以a
16、n的通项公式为an=.(2)由(1)知,bn=.当n=1,2,3时,1 2,bn=1;当n=4,5时,2 3,bn=2;当n=6,7,8时,3 4,bn=3;当n=9,10时,4 0,求an.【解题指南】由已知条件,引入数列,并证明是等差数列,再求an.【解析】因为所以所以数列是以=1为首项,2为公差的等差数列,所以=1+(n-1)2=2n-1.又an0,所以an=(nN+).【能力练】(15分钟30分)1.(5分)若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为()A.0B.1C.2D.1或2【解析】选D.因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以=4
17、b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)20.所以二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.【加练固】等差数列an中,a2+a5+a8=9,那么方程x2+(a4+a6)x+10=0的根的情况()A.没有实根B.两个相等实根C.两个不等实根D.无法判断【解析】选A.由a2+a5+a8=9得a5=3,所以a4+a6=6,方程转化为x2+6x+10=0.因为0,所以方程没有实根.2.(5分)等差数列的首项为,且从第10项开始为比1大的项,则公差d的取值范围是()【解析】选D.由题意所以所以.【加练固】已知在等差数列an中,首项为20,公差是整数,从第8项开始为负项,则公差为
18、()A.-3B.3C.4D.-4【解析】选A.因为等差数列an中,首项为20,公差是整数,从第8项开始为负项,所以a1=20,且a7=a1+6d0,a8=a1+7d0,所以20+6d0,且20+7d0,解得又d为整数,所以d=-3.3.(5分)正项数列an满足:a1=1,a2=2,2(nN+,n2),则an=_,a7=_.【解析】因为2 (nN+,n2),所以数列 是以=1为首项,以d=4-1=3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以an=,n1.所以a7=答案:4.(5分)(2020徐州高二检测)若数列an是公差不为0的等差数列,ln a1,ln a2,ln a5成等差数列
19、,则的值为_.【解析】数列an是公差不为0的等差数列,ln a1,ln a2,ln a5成等差数列,所以2ln(a1+d)=ln a1+ln(a1+4d),所以(a1+d)2=a1(a1+4d),所以+2a1d+d2=+4a1d,解得d=2a1,所以=3.答案:35.(10分)已知等差数列an中,a2=4,a6=16.(1)证明:数列是公差为-2的等差数列;(2)若在数列an每相邻两项之间插入三个数,使得新数列也是一个等差数列,求新数列的第41项.【解析】(1)设数列an的公差为d,因为a2=4,a6=16,所以4d=a6-a2=12,得d=3,所以an=a2+(n-2)d=3n-2,设bn=
20、an-3n,则bn=-2n-,所以bn+1-bn=-2,即数列是公差为-2的等差数列.(2)由(1)得a1=4-3=1,设新数列为cn,其公差为d1,则c1=1,c5=4,所以4d1=3,得d1=,所以c41=1+(41-1)=31.【培优练】1.(2020西安高二检测)数列an是等差数列,a1=1,公差d1,2,且a4+a10+a16=15,则实数的最大值为_.【解析】因为a1=1,a4+a10+a16=15,所以2+18d+(1+9d)=15,解得:d=,-2.因为公差d1,2,所以1 2,解得:-.则实数的最大值为-.答案:-2.在数列an中,an+1=2an+2n,a1=1,设bn=(1)证明:数列bn是等差数列.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)将an+1=2an+2n两边同除以2n,得+1,所以bn+1=bn+1,bn+1-bn=1,所以数列bn为等差数列,公差为1.(2)因为bn的首项b1=1.所以bn=b1+(n-1)d=1+n-1=n,所以=n,所以an=n2n-1,nN+.本课结束
