1、13.3.2 空间图形的体积 必备知识自主学习导思1.如何求柱体、锥体和台体的体积?2.如何求简单组合体的体积?1.柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体V柱体=_(S为底面面积,h为高)V圆柱=_(r为底面半径)锥体V锥体=_(S为底面面积,h为高)V圆锥=_(r为底面半径)Shr2hShr2h几何体体积台体V台体=_(S,S分别为上、下底面面积,h为高),V圆台=_(r,r分别为上、下底面半径)【思考】柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系.提示:V=Sh V=(S+S)h V=Sh.2.球的体积和表面积若球的半径为R,则(1)球的体积V=_.(2)球的表面积S=_.4R2【基础小测】1.辨析
2、记忆(对的打“”,错的打“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.()(3)球的体积之比等于半径比的平方.()提示:(1).锥体的体积等于底面面积与高之积的.(2).球的大圆半径等于球的半径.(3).球的体积之比等于半径比的立方.2.直径为6的球的表面积和体积分别是()A.36,144B.36,36C.144,36D.144,144【解析】选B.由题意知,球的半径r=3.则S球=4r2=432=36,V球=r3=33=36.3.(教材二次开发:例题/习题改编)若正方体的体对角线长为a,则它的体积为_.【解析】设正方体的边长为x,则x=
3、a,故x=,V=a3.答案:a3关键能力合作学习类型一 棱柱、棱锥和棱台的体积(数学运算、直观想象)【典例】如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中AA1=AC=4,BC=3,ACBC,点D是AB的中点,求三棱锥A1-B1CD的体积.【思路导引】方法一:方法二:利用等体积法求解,【解题策略】几何体的体积的求法(1)直接法:直接套用体积公式求解.(2)等体积转移法:在三棱锥中,每一个面都可作为底面.为了求解的方便,我们经常需要换底,此法在求点到平面的距离时也常用到.(3)分割法:在求一些不规则的几何体的体积时,我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体.(4)补形法:对一些不规则(或难求解)的
4、几何体,我们可以通过补形,将其补为规则(或易于求解)的几何体.【跟踪训练】如图,在三棱锥P-ABC中,PA=a,AB=AC=2a,PAB=PAC=BAC=60,求三棱锥P-ABC的体积.类型二 圆柱、圆锥和圆台的体积(数学运算、直观想象)【典例】圆台上底的面积为16 cm2,下底半径为6 cm,母线长为10 cm,那么圆台的侧面积和体积各是多少?【思路导引】解答本题作轴截面可以得到等腰梯形,为了得到高,可将梯形分割为直角三角形和矩形,利用它们方便解决问题.【解题策略】求台体的体积关键是求高,为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算.对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形;在旋
5、转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形.【跟踪训练】如图,ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.类型三 球的表面积和体积(数学运算、直观想象)角度1 球的表面积和体积【典例】(1)已知球的体积是,则此球的表面积是()A.12B.16C.D.(2)把球的表面积扩大到原来的2倍,那么球的体积扩大到原来的()A.2倍B.倍C.2倍D.倍【思路导引】结合球的表面积和体积公式计算求解.角度2 几何体的外接球内切球的问题【典例】已知正四面体的棱长为a,四个顶点都在同一个球面上,试求这个球的表面积和体积.【思路
6、导引】正四面体的顶点都在同一个球面上,球心和正四面体的中心是同一个点,球心与正四面体各顶点的距离即球的半径.【解题策略】处理有关几何体外接球的问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总是在几何体的特殊位置,比如中心、对角线中点等.该类问题的求解就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径.【题组训练】1.两个球的半径相差1,表面积之差为28,则它们的体积和为_.【解析】设大、小两球半径分别为R,r,则由题意可得所以所以它们的体积和为R3+r3=答案:2.已知球的大圆周长为16 cm,求这个球的表面积.【解析】设球的半径为R cm,由题意可知2R=16,解得R=8,则
7、S球=4R2=256(cm2).3.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.a2B.a2C.a2D.5a24.已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球面面积与球的体积.1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为()【解析】选A.由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,所以球的半径为1,其体积是课堂检测素养达标2.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.B.16C.9D.【解析】选A.如图,设球心为O,半径为r,则在RtAOE中,(4-r)2+()2=r2,解得r=,所以该球的表面积为4r2=43.(教材二次开发:练习改编)已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为则这个长方体的体对角线长是_.【解析】所以体对角线l=答案:4.如图在所有棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中,三棱锥B-A1C1C的体积是_.5.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,若这个球的体积是,求此三棱柱的体积.【解析】由R3=,得R=2,所以正三棱柱的高h=4.设其底面边长为a,则a=2,所以a=4,所以V=
