1、第2课时 两平面垂直必备知识自主学习1.二面角的概念(1)半平面:平面内的一条直线把这个平面分成_,其中的每一部分都叫作半平面.导思1.如何判定两平面垂直?2.两平面垂直有何性质?两部分(2)二面角:一般地,一条直线和由这条直线出发的_所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,每个半平面叫作二面角的面,如图,中,棱为l或AB,面为、记作-l-(-AB-)或P-l-Q(P-AB-Q)(P,Q分别为在,内且不在棱上的点).两个半平面(3)二面角的平面角文字表述:一般地,以二面角的棱上_为端点,在两个面内分别作_的射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.图形语言:符号语言:=l,Ol,OA
2、,OB,_,_AOB为二面角-l-的平面角.任意一点垂直于棱OAlOBl(4)二面角大小的度量二面角的大小可以用它的_来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.二面角的大小范围是_.平面角是直角的二面角叫作_.平面角0180直二面角2.平面与平面垂直的判定定理(1)定义:一般地,如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直.(2)画法:两个互相垂直的平面通常画成如图(1)、(2)所示.此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直,平面与垂直,记作.(3)平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直图形语言符号语言l,l【思
3、考】定义能否作为判定两个平面垂直的依据?提示:可以,定义既是判定也是性质.3.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直图形语言符号语言【思考】面面垂直的性质定理的推理特点是什么?提示:面面垂直推出线面垂直.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)对于确定的二面角而言,平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.()(2)已知一条直线垂直于某一个平面,则过该直线的任意一个平面与该平面垂直.()(3)两个平面垂直,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面一定垂直.()2.空间四边形ABCD中,若ADBC,BD
4、AD,那么有()A.平面ABC平面ADCB.平面ABC平面ADBC.平面ABC平面DBCD.平面ADC平面DBC3.(教材二次开发:例题改编)如图所示,已知PA矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有()A.2对B.3对C.4对D.5对关键能力合作学习类型一 面面垂直的判定定理的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】已知四边形ABCD是矩形,PA平面ABCD,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND平面PCD.【思路导引】欲证平面MND平面PCD,只需证明平面MND中的直线MN平面PCD即可,取PD的中点E,易知MNAE,故只需证明AE平面PCD即可.【解题策略】证明两平面
5、垂直的两个常用方法1.利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定方法是:(1)找出两相交平面的平面角;(2)证明这个平面角是直角;(3)根据定义,这两个相交平面互相垂直.2.利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,这是证明面面垂直的常用方法,其步骤是:【跟踪训练】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ACB=90,AA1=2AC,D是棱AA1的中点.求证:平面BDC1平面BDC.类型二 面面垂直性质的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB.过A作AFSB
6、,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.【思路导引】(1)在平面EFG中找两条相交的直线分别与平面ABC平行即可.(2)先证BC平面SAB,再利用线面垂直的性质即可证BCSA.【解题策略】应用面面垂直的性质定理的策略(1)应用步骤:面面垂直线面垂直线线垂直.(2)应用类型:证明线面垂直、线线垂直;作线面角或作二面角的平面角.提醒:面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据,我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.【跟踪训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平
7、面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)PA底面ABCD;(2)平面BEF平面PCD.类型三 求二面角的大小(逻辑推理、直观想象)【典例】如图所示,PA平面ABC,ACBC,AB=2,BC=,PB=,求二面角P-BC-A的大小.【思路导引】先利用二面角的平面角的定义找平面角,再通过解三角形求解.【解题策略】解决二面角问题的策略【跟踪训练】如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90,平面PAB平面BAC,D,E分别为AB,AC的中点.(1)求证:ABPE;(2)求二面角A-PB-E的大小.1.对于直线m,n和平面,能得出的一个条件是
8、()A.mn,m,nB.mn,=m,nC.mn,n,mD.mn,m,n【解析】选C.因为n,mn,所以m,又m,由面面垂直的判定定理得.课堂检测素养达标2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一点M,作MEAB于E,则()A.ME平面ACB.ME平面ACC.ME平面ACD.以上都有可能【解析】选A.由于ME平面AB1,平面AB1平面AC=AB,且平面AB1平面AC,MEAB,则ME平面AC.3.(教材二次开发:练习改编)下列说法:两个相交平面组成的图形叫作二面角;异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角.其中正确的是_.(填序号)4.如图,在正四面体PABC(各棱长均相等)中,E是BC的中点,则平面PAE与平面ABC的位置关系是_.5.如图,平面角为锐角的二面角-EF-,AEF,AG,GAE=45,若AG与所成角为30,求二面角-EF-的平面角.
