1、12.3 复数的几何意义必备知识自主学习1.复平面导思1.复数z=a+bi(a,bR)与有序实数对(a,b)有怎样的对应关系?2.复数z=a+bi(a,bR)与向量有怎样的对应关系?【思考】有些同学说,实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗?提示:不正确.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.2.复数的几何意义(1)对应关系:复数z=a+bi(a,bR)_.复数z=a+bi(a,bR)平面向量.因此,复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量之间的关系可用下图表示.复平面
2、内的点Z(a,b)为方便起见,常把复数z=a+bi说成点Z或向量,并且规定相等的向量表示同一个复数.(2)本质:建立了复数与复平面上的点,复数与向量的对应关系.(3)应用:通过两种对应关系的建立,可以直观、有效地表示复数,便于理解复数的意义.3.复数的模(1)定义:向量的模叫作复数z=a+bi(a,bR)的模;(2)记法:复数z=a+bi的模记作_;(3)公式:|z|=|a+bi|=(a,bR).|z|或|a+bi|4.复数加、减法的几何意义(1)如图所示,设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)对应的向量分别为,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是,与z
3、1-z2对应的向量是;(2)实质:利用几何图形的变换解释复数的加、减运算(数形结合);(3)应用:广泛应用于复数的加、减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目.【思考】|z1-z2|的几何意义是什么?提示:表示复数z1,z2对应的两点Z1与Z2间的距离.即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.()(2)复数的模一定是正实数.()(3)复数z1z2的充要条件是|z1|z2|.()2.(2020北京高考)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则iz=()A.1+2iB.-2+
4、iC.1-2iD.-2-i【解析】选B.z=1+2i,iz=i(1+2i)=-2+i.3.(教材二次开发:例题改编)在复平面内,复数z1=1+i与z2=1+3i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则|等于()A.B.2C.D.4【解析】选B.=-=(1,3)-(1,1)=(0,2),所以|=2.关键能力合作学习类型一 复数与复平面上点的对应关系(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.复数z=cos+isin(i为虚数单位)其中,则复数z在复平面上所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.复数z1=1+i和z2=1-i在复平面内的对应点关于()A.实轴对称B.一、三象限的
5、角平分线对称C.虚轴对称D.二、四象限的角平分线对称3.已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中aR.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围).(1)在实轴上;(2)在第三象限.【解题策略】利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,bR)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.【补偿训练】求当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件:(1)位于
6、第四象限;(2)位于x轴的负半轴上.类型二 复数和向量的对应关系及加减运算的几何意义(数学抽象、直观想象)角度1 复数与向量的对应【典例】(1)在复平面内,O为原点,向量表示的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量表示的复数为()A.-2-iB.1+2iC.-2+i D.-1+2i(2)在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是()A.2B.-2iC.-3iD.3+i【思路导引】(1)根据向量的坐标,求出点A的坐标,再根据点的对称性求点B的坐标,最后根据点B的坐标求出的坐标.(2)根据复数求出复数对应向量的坐标,再根据角的旋转求终边向量对应的
7、复数.【解题策略】复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数,反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.角度2 复数加减运算的几何意义【典例】如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:(1)所表示的复数,所表示的复数;(2)所表示的复数;(3)所表示的复数及的长度.【思路导引】(1)根据点O,A,C的坐标,应
8、用求向量坐标的方法求出,的坐标,然后转化为复数.(2)根据复数与向量的关系,利用向量法求向量的坐标.【解题策略】用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.(2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.【题组训练】1.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1-2i,若点A关于实轴的对称点为B,则向量对应的复数为()A.-2-iB.2+iC.1+2iD.-1+2i【解析】选D.由题意可知,点A的坐标为(-1,-2),则点B的坐标为(-1,2),故向量对应的复数为-1+2i.2.(2020泰安高
9、一检测)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若=x +y (x,yR),则x+y=_.【解析】由条件可知若=x +y (x,yR),则(3,2)=(x+y,2xy),所以解得x=1,y=4,所以x+y=5.答案:5类型三 复数的模(直观想象、数学运算)角度1 复数模的计算【典例】已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=_.【思路导引】设z=a+bi(a,bR)代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a,b.【变式探究】设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|z2|,则实数a的取值范围是()A.(-,-
10、1)(1,+)B.(-1,1)C.(1,+)D.(0,+)角度2 复数模的几何意义【典例】如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是()A.1B.C.2D.【思路导引】根据绝对值的几何意义,求出点Z在复平面内对应的集合,再求出|z+i+1|的最小值.【解题策略】复数几何意义的应用|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.【题组训练】1.(2020全国卷)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.D.2【解析】选C.因为z=1+2i+
11、i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=.2.(2020泉州高一检测)若复数z满足z(-1+2i)=(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为z=,所以该复数在复平面内对应的点位于第三象限.3.已知复数z=3+ai,且|z|4,求实数a的取值范围.备选类型 复数的模及其几何意义的应用技巧(数学抽象、数学运算)【典例】已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为_.【思路导引】利用复数的几何意义求解.【解题策略】(1)复数的模为实数,求复数模的步骤为:步骤一:将复数化为z=a+bi(a,bR)的形式;步骤二:代入公式|z|
12、=求复数的模.(2)在复平面内,两点Z1,Z2间的距离=|z1-z2|是复数几何意义的基础,模的几何意义常与不等式、最值、解析几何等知识相结合,综合考查数学问题,利用几何意义转化条件和结论往往可取得事半功倍的效果.【跟踪训练】(2020高台高二检测)若复数z满足|z|=2,则的取值范围是_.1.(2020全国卷)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.D.2【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.课堂检测素养达标2.(2020成都高二检测)已知复数z=,则|z|=()A.B.1C.D.2【解析】选A.依题意z=,所以3.(教材二次开发:练习改编)在平行四边形ABCD中,若A,C对应的复数分别为-1+i和-4-3i,则该平行四边形的对角线AC的长度为()A.B.5C.2D.10【解析】选B.依题意知,对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i,因此AC的长度为|-3-4i|=5.4.若复数z=x+yi(x,yR)满足y=2x,且|z|=,则复数z=_.【解析】依题意可设复数z=a+2ai(aR),由|z|=,得,解得a=1,故z=1+2i或z=-1-2i.答案:1+2i或-1-2i5.已知z是复数,i是虚数单位,且z=-2+ai,则|z|=_,复数在复平面内对应的点位于第_象限.
