1、10.1.3 两角和与差的正切必备知识自主学习导思1.两角和与差的正切公式的形式是怎样的?2.两角和与差的正切公式有哪些应用?两角和与差的正切公式(1)公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(+)tan(+)=_ (kZ)且tan tan 1两角差的正切T(-)tan(-)=_ _(kZ)且tan tan-1(2)本质:揭示了两角和与差的正切值与两角的正切值之间的关系.(3)应用:求值;化简.【思考】(1)由同角三角函数的商数关系知tan(+)=由此能否推导出两角和的正切公式?若能,写出推导过程.提示:能.tan(+)=分子分母同除以cos cos,可得tan(+)=(2)两角和与差的正切
2、公式中为什么限制,+,-都不等于k+(kZ)?提示:这是由正切函数的定义域决定的.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)存在,R,使tan(+)=tan+tan 成立.()(2)对任意,R,tan(+)=都成立.()(3)tan(+)=等价于tan+tan=tan(+)(1-tan tan).()2.tan 255=()A.-2-B.-2+C.2-D.2+【解析】选D.tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(45+30)3.(教材二次开发:练习改编)若cos=-,且为第三象限角,则tan的值等于()A.B.-C.-7D.7【解析】选D.cos=-,且为第
3、三象限角,则sin=所以tan=关键能力合作学习类型一 给角求值问题(数学运算)【题组训练】1.计算:=_.2.tan 10+tan 50+tan 10tan 50=_.【解题策略】公式T(+),T(-)应用的解题策略(1)公式T(+),T(-)有tan tan,tan+tan(或tan-tan),tan(+)(或tan(-),三者知二可求出第三个.(2)化简过程中注意“1”与“tan”,“”与“tan”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.【补偿训练】tan 72-tan 42-tan 72tan 42=_.【解析】原式=tan(72-42)(1+tan 72tan 42)-tan 72tan
4、 42=tan 30(1+tan 72tan 42)-tan 30tan 72tan 42=tan 30=.答案:类型二 给值求角问题(数学运算)【典例】(2020洛阳高一检测)已知tan =2,tan(-)=,.(1)求tan 的值;(2)求2-的值.【解题策略】给值求角问题的步骤及选取函数的原则(1)给值求角问题的步骤.求所求角的某个三角函数值.确定所求角的范围(范围过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解),根据范围找出角.(2)选取函数的原则.已知正切函数值,选正切函数.已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是,选正弦或余弦函数均可;若角的范围是(0,),选余弦较好;若角的范围是
5、,选正弦较好.【跟踪训练】已知tan=,sin=,且,为锐角,求+2的值.【补偿训练】已知,都是锐角,且tan=,tan=,tan=,则+=_.类型三 给值求值问题(数学运算)角度1 式子变换【典例】已知sin=,tan(-)=,则tan(-)的值为()【思路导引】由条件得出tan 与tan 的值,代入两角差的正切公式可求值.【变式探究】本例条件不变,求tan(+)的值.【解析】因为 ,sin=,所以cos=-,tan=-,又tan=-,所以tan(+)=角度2 拆角变换【典例】已知tan=,tan(-)=-,那么tan(-2)的值为()【思路导引】tan(-2)=-tan(2-)=-tan（
6、【解题策略】给值求值问题的两种变换(1)式子的变换:分析已知式子的结构特点,结合两角和与差的三角函数公式,通过变形,建立与待求式子间的联系以实现求值.(2)角的变换:首先从已知角间的关系入手,分析已知角与待求角间的关系,如用=-(-)、2=(+)+(-)等关系,把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系,从而求值.【题组训练】1.(2020全国卷)已知2tan-tan=7,则tan=()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选D.由题意可知2tan-=7,化简得:2tan-2tan2-1-tan=7-7tan,解得tan=2.2.已知,为锐角,cos=,tan(-)=-,则tan 的值为_
7、.【解析】因为为锐角,cos=,所以tan=.所以tan=tan-(-)=答案:1.设角的终边过点(2,3),则tan=()A.B.-C.5D.-5【解析】选A.由于角的终边过点(2,3),因此tan=,故tan 课堂检测素养达标2.tan 10tan 20+(tan 10+tan 20)等于()A.B.1C.D.【解析】选B.原式=tan 10tan 20+tan 30(1-tan 10tan 20)=tan 10tan 20+1-tan 10tan 20=1.3.在ABC中,C=120,tan A+tan B=,则tan Atan B的值为()【解析】选B.因为C=120,所以A+B=60,所以tan(A+B)=因为tan A+tan B=,所以tan A+tan B=(1-tan Atan B)=,解得tan Atan B=.4.计算=_.【解析】因为=tan 45=1.答案:15.已知tan(+)=,tan,求tan的值.【解析】因为+=(+)-所以tan =tan
