1、第7章 不等式题组一一、 选择题1. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知满足约束条件，则的最小值是（ ）A15 B18 C26 D20答案 B.2（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）设满足约束条件：，则的最小值为（）A6 B 答案 B.3、（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）若，则A BCD答案 D.4.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式的解集为( )A. B.C. D.答案 C.5.（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为D， P（）为D内的一个
2、动点，则目标函数的最小值为（A） （B） （C）0 （D）答案 B.6（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）不等式的解集为,则函数的图象为（ ）答案 C.7.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式的解集为( )A. B.C. D.答案 C.8（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知0ab C (lga)2(lgb)2 D()a0,则不等式的解集为 答案 15.（湖南省长沙市第一中学2011届高三第五次月考理）已知函数f(x)|x2|，若a0，且a，bR，都有不等式|ab|ab|a|f(x)成立，则实数x的取值范围是 .答案 0,4.解：|ab|a
3、b|a|f(x)及a0得f(x)恒成立，而2，则f(x)2，从而|x2|2，解得0x4.16（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理） 已知实数的最小值为 【答案】。【分析】画出平面区域，根据目标函数的特点确定其取得最小值的点，即可求出其最小值。【解析】不等式组所表示的平面区域，如图所示。显然目标函数在点处取得最小值。【考点】不等式。【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题。在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可。三、
4、 解答题17.（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）(本题13分)已知函数为奇函数。(1)求并写出函数的单调区间； (2)解不等式答案 14.18（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲（I）已知都是正实数，求证：；（II）设函数，解不等式答案 （1）证明：（），又， （5分）法二：，又，展开得，移项，整理得 （5分）不等式选讲解：（法一）令y=|2x+1|-|x-4|，则y=2分作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象，它与直线的交点为和 4分所以的解集为5分解：（法二）19（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）
5、（本小题满分12分）在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离（米）与车速（千米/小时）需遵循的关系是（其中（米）是车身长,为常量）,同时规定（1）当时，求机动车车速的变化范围；（2）设机动车每小时流量，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量最大【分析】（1）把代入，解这个关于的不等式即可；（2）根据满足的不等式，以最小车距代替，求此时的最值即可。【解析】（1） =av2, v=25, 025时, Q=, 当v=50时Q最大为12分【点评】不等式【点评】本题考查函数建模和基本不等式的应用。本题中对车距有两个限制条件，这两个条件是在不同的车速的情况下的限制条件，解题中容易出现的错误
6、是不能正确的使用这两个限制条件对函数的定义域进行分类，即在车速小于或等于时，两车之间的最小车距是，当车速大于时，两车之间的最小车距是。20（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）选修45：不等式选讲已知函数（I）求不等式的解集；（II）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围。【分析】（1）只要分区去掉绝对值，即转化为普通的一次不等式，最后把各个区间内的解集合并即可；（2）问题等价于。【解析】（I）原不等式等价于或 3分解，得即不等式的解集为 6分（II） 8分 10分【考点】不等式选讲【点评】本题考查带有绝对值的不等式的解法、不等式的恒成立问题。本题的不等式的解法也可以根据几何
7、意义求解，不等式，等价于，其几何意义是数轴上的点到点距离之和不大于，根据数轴可知这个不等式的解区间是。21. （甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题）(12分)已知函数满足且对于任意, 恒有成立. (1) 求实数的值; (2) 解不等式.答案 （1） 由知, 又恒成立, 有恒成立,故 将式代入上式得:, 即故 即, 代入 得, （2） 即 解得:, 不等式的解集为22.（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题） (12分)已知函数，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围答案 22.(1)3,2;(2)(1,4)23（黑龙江哈九中2011届高三12月月考
8、理）（12分）已知函数（1）求在上的最大值；（2）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围答案 （1），令，得或（舍）当时，单调递增；当时，单调递减，是函数在上的最大值（2）对恒成立若即，恒成立由得或设依题意知或在上恒成立都在上递增或，即或（3）由知，令，则当时，于是在上递增；当时，于是在上递减，而，即在上恰有两个不同实根等价于，解得24.（黑龙江省哈尔滨市第162中学2011届高三第三次模拟理）设是函数的一个极值点。（）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。 点评：本小题主要考查函
9、数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。解：（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，则 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是极值点，所以x+a+10，那么a4.当a3x1，则在区间（，3）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（a1，）上，f (x)4时，x23x1，则在区间（，a1）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（3，）上，f (x)0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递
10、增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e30，f (3)a6，那么f (x)在区间0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只须仅须（a2）（a6）0，解得0a.故a的取值范围是（0，）。25（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）（12分）某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价
11、45元，顶部每平方米造价20元，求：（1）仓库面积的最大允许值是多少？（2）为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？答案 解：设铁栅长为米，一堵砖墙长为米，则顶部面积为 依题设，4分由基本不等式得，6分，即，9分故，从而11分所以的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是且，求得，即铁栅的长是15米。12分26（湖北省夷陵中学、钟祥一中2011届高三第二次联考理）（12分）设an是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和（1）若Sn20，S2n40，求S3n的值；（2）若互不相等正整数p，q，m，使得pq2m，证明：不等式SpSqS成立；（3）是否存在常数k和等差数
12、列an，使ka1S2nSn+1恒成立（nN*），若存在，试求出常数k和数列an的通项公式；若不存在，请说明理由。答案 26. （1）在等差数列an中，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等差数列，Sn（S3nS2n）2（S2nSn）S3n3 S2n3 Sn604分（2）SpSqpq（a1ap）（a1aq）pqaa1(apaq)apaqpq（a2a1amapaq）（）2a2a1am（）2m2（a2a1ama）m（a1+am）2S8分（3）设anpnq（p，q为常数），则ka1kp2n22kpqnkq21Sn+1p(n1)2（n1）S2n2pn2（p2q）nS2nSn+1pn2n（pq），依题意有k
13、p2n22kpqnkq21 pn2n（pq）对一切正整数n成立，由得，p0或kp；若p0代入有q0，而pq0不满足，p0由kp代入，3q，q代入得，1（p），将kp代入得，P，解得q，k故存在常数k及等差数列ann使其满足题意12分27（湖北省武汉中学2011届高三12月月考理）（本题满分14分） 已知点P在曲线上，设曲线C在点P处的切线为l，若l与函数的图像交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，设A、B的横坐标分别为、 （I）求的解析式； （II）设数列，数列满足的通项公式； （III）在（II）的条件下，当时，证明不等式：答案 27.题组二一、选择题1（2011湖南嘉禾一中）已知实
14、数，满足约束条件则的取值范围是（ ）A1，2B0，2C1，3D0，1答案 A2. （成都市玉林中学20102011学年度）设，不等式的解集是，则等于（A） （B） （C） （D）答案 B.2解：的解是：，则 故选B3. （成都市玉林中学20102011学年度）定义在R上的偶函数满足，且在3，2上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（A）（B）（C） ( D）答案 D.4. (江苏省2011届数学理)若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B D答案 D.5（四川省成都市玉林中学2011届高三理）在R上定义运算：xy=x(1y).若不等式(xa)(xa)
15、0，若f（1）= 0，那么关于x的不等式x f（x） 0 的解集是_答案 ，14（江苏泰兴市重点中学2011届高三理）设f（x）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增，若f（a-2）-f（4-a2）0，则a的取值范围为_答案 15（江苏泰兴市重点中学2011届文）设函数，对任意的,恒成立，则实数的取值范围是_答案 。16（浙江省桐乡一中2011届高三文）已知变量x，y，满足，则的取值范围为答案 13，4017（江苏泰兴市重点中学2011届理）设f（x）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增，若f（a-2）-f（4-a2）0，则a的取值范围为_答案 ， 18. （福建省四地六校联
16、考2011届高三文）已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为 . 答案 15.19 （广东省河源市龙川一中2011届高三文）若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为 答案 3.20(广东省湛江一中2011届高三10月月考理）在平面直角坐标系上，设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为. 则 ，经推理可得到 答案： 当时，区域内的整点个数分别为个，共三， 解答题 21（四川成都市玉林中学20102011学年度）（本题满分12分）已知函数时都取得极值 （I）求a、b的值与函数的单调区间； （II）若对的取值范围。答案 21.（本小题满分12分）（）
17、由 3分1+00+极大值极小值所以函数8分（II）当所以为最大值。 11分要使解得 12分22（江苏泰兴市重点中学2011届）（16分）已知数列是等差数列， （1）判断数列是否是等差数列，并说明理由； （2）如果，试写出数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。答案22解：（1）设的公差为，则数列是以为公差的等差数列4分 （2）两式相减：6分8分10分 （3）因为当且仅当时最大12分即15分23（江苏泰兴市重点中学2011届理）（本小题满分14分）已知：在函数的图象上，以为切点的切线的
18、倾斜角为 （I）求的值； （II）是否存在最小的正整数，使得不等式恒成立？如果存在，请求出最小的正整数，如果不存在，请说明理由。答案 23依题意，得因为6分（II）令8分当当当又因此， 当12分要使得不等式恒成立，则所以，存在最小的正整数使得不等式恒成立24（江苏泰兴市重点中学2011届理）设n为大于1的自然数，求证：答案 24证明：（放缩法）解：不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（1，0，1），（0，1，1），E（,1,0）, F（0 , ,0）25.（江苏省2011届理）已知
19、常数。答案 25.26（江苏泰兴2011届高三文）已知集合A，B当a2时，求AB； 求使BA的实数a的取值范围答案 26 解：（1）当a2时，A（2，7），B（4，5） AB（4，5）（2） B（2a，a21），当a时，A（3a1，2） 要使BA，必须，此时a1； 当a时，A，使BA的a不存在； 当a时，A（2，3a1）要使BA，必须，此时1a3 27. (江西省上高二中2011届高三理）已知常数。答案 27.28（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）（12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关
20、系：（其中为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？答案 28解：（1）当时，当时，综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0 当时，当且仅当时取等号所以当时，此时 当时，由知函数在上递增，此时综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润 若，则当日产量为万件时，可获得最
21、大利润29（浙江省吴兴高级中学2011届高三文）已知，。（1）求的最小值；（2）求证：。答案 29、解：（1）因为，所以，得。当且仅当，即时，有最小值。5分（2）因为，所以，当且仅当取等号。又，于是。10分30（河南信阳市2011届高三理）（本小题满分10分） 选做题：任选一道，两题均做只以（I）的解答计分。 （I）已知，求证： （II）已知正数a、b、c满足，求证：答案 30（I）证明：因为x，y，z均为正数，所以4分同理可得6分当且仅当时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得10分 （II）证明：要证只需证3分即只要证5分两边都是非负数，这就是已知条件，且以上各步都可逆，10分
