1、阶段复习课第二课 导数及其应用网络体系构建【答案速填】瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线斜率基本初等函数求导导数的运算法则函数的极值与最值易错案例警示易错点一 理解导数的概念不透彻而出现错误【案例1】若一辆汽车从静止到速度为100 km/h只用了8 s,则它的平均加速度大约为_m/s2(精确到0.01)()A.3.47B.12.5C.34.72D.1.25【解析】选A.因为速度的改变量为v=100 000/3 600 ,时间的改变量为t=8 s,所以它的平均加速度 3.47 .【错因探究】本题中,出错原因有:(1)不知道速度的改变量与时间的改变量的比值是平均加速度,(2)单位没有换算,直接用1
2、00除以8算出结果为B.【避错警示】准确理解平均速度,平均加速度,函数的平均变化率以及瞬时速度,瞬时变化率(导数)的概念,还有要注意实际问题中的单位要统一.易错点二 导数的几何意义掌握不好而出现错误【案例2】已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=_.【解析】由y=1+可得曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线斜率为2,故切线方程为y=2x-1,与y=ax2+(a+2)x+1联立得ax2+ax+2=0,显然a0,所以由=a2-8a=0a=8.答案:8【错因探究】本题中,出错原因有:(1)导数计算错误;(2)不能区分“在”“过”;(3)不能
3、掌握函数在某点处的导数,就是函数图像在这个点处的切线斜率.【避错警示】(1)熟练掌握求导公式及求导法则,是解决导数问题的前提.(2)牢记导数的几何意义:f(x0)是曲线y=f(x)在点x0处的切线斜率.易错点三 求导公式、复合函数求导法则混淆导致错误【案例3】讨论函数f =logax-ln a2x的单调性.【解析】函数的定义域为,f =-2ln a=,因为ln a0,所以1-2 x=0,解得x=.下面对a分类讨论:当a1时,ln a0,所以在区间上,f 0,f 单调递增,在区间上,f 0,f 单调递减.当0a1时,ln a0,所以在区间上,f 0,f 单调递增.【错因探究】本题中,出错原因有:
4、(1)求导公式记错,(2)求导数时运算错误.【避错警示】熟记求导公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则,计算准确无误.易错点四 利用导数研究函数的单调性时忽略定义域而出现错误【案例4】已知函数f(x)=x2-5x+2ln x,则函数f(x)的单调递增区间是_.【解析】函数求导可得f(x)=2x-5+(x0),当f(x)=0,即(2x-1)(x-2)0,解得x2或0 x0,f(x)单调递增,当x 时,f(x)0,f(x)单调递增,所以函数f(x)在x=0处取得极大值f(0)=1,在x=处取得极小值f .又f(-1)=-2,f(2)=1,所以函数f(x)的最大值是1,最小值是-2.【错因探究
5、】求出函数的极值后,要与区间端点的函数值进行比较方可确定函数的最值,否则会出现错误.【避错警示】若连续函数y=f(x)在a,b上为单调函数,则其最值必在区间端点处取得;若该函数在a,b上不单调,即存在极值点,则最值可能在端点处取得,也可能在极值点处取得.易错点八 因没有注意问题的实际意义而出错【案例8】某船由甲地逆水行驶到乙地,甲、乙两地相距s(km),水的流速为常量a(km/h),船在静水中的最大速度为b(km/h)(ba),已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比,比例系数为k,则船在静水中的航行速度为多少时,其全程的燃料费用最省?【解析】设船在静水中的航行速度为
6、x km/h,全程的燃料费用为y元,由题设可得y=f(x)=kx2=sk ,x(a,b,所以y=sk ,令y=0,得x=2a或x=0(舍).(1)当2ab时,若x(a,2a),则y0,f(x)单调递增,所以当x=2a时,ymin=4ask.(2)当2ab时,y=sk ,当x(a,b时,y0,所以f(x)在(a,b上是减函数,所以当x=b时,ymin=skb2 .综上可知,若b2a,则当船在静水中的速度为b km/h时,燃料费用最省;若b2a,则当船在静水中的速度为2a km/h时,燃料费用最省.【错因探究】这个实际问题的定义域为(a,b,而x=2a为函数的极值点,是否在(a,b内不确定,所以需要分类讨论,否则会出现错误.【避错警示】在运用导数解决实际问题的过程中,正确建立数学模型,找到实际问题中函数定义域的取值范围.本课结束
