1、第六章导数及其应用6.1 导 数6.1.1 函数的平均变化率新课程标准素养风向标1.了解平均变化率的概念2.理解平均变化率的几何意义3.掌握求函数平均变化率的方法1.理解平均变化率的概念(数学抽象)2.了解平均变化率的几何意义(数学抽象)3.会求函数在某一段的平均变化率(数学运算)主题变化率问题1.写出气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系式.然后将球半径r表示为球体积V的函数.提示:体积V与半径r之间的关系式为V(r)=r3.将半径r表示为体积V的函数为r(V)=基础预习初探2.当V从0增加到1 L时,气球半径增加了多少?此时气球的平均膨胀率是多少?当V从1 L 增加到2
2、L呢?提示:当V从0增加到1 L时,气球半径增加了r(1)-r(0)0.62(dm).气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L).当V从1 L增加到2 L时,气球半径增加了r(2)-r(1)0.16(dm).气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L).3.若跳水运动员运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则运动员在0t0.5这段时间里的平均速度是多少?运动员在1t2这段时间里的平均速度是多少?提示:在0t0.5这段时间里的平均速度是在1t2这段时间里的平均速度是=-8.2(m/s).结论:若函数y=f(x)的
3、定义域为D,且x1,x2D,x1x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则(1)自变量的改变量为x=_;(2)因变量的改变量为y=_(或f=f(x2)-f(x1);(3)以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率为x2-x1y2-y1【对点练】1.当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A.在x0,x1上的平均变化率B.在x0处的变化率C.在x1处的变化率D.以上都不对【解析】选A.由平均变化率的定义知当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在x0,x1上的平均变化率.2.质点运动规律s=t2+3,则在时间3,3+t中,相应的平均速度等于
4、()A.6+tB.6+t+C.3+tD.9+t【解析】选A.【补偿训练】婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,则第二年婴儿体重的月平均变化率是_.【解析】由题图可知,第二年婴儿体重的月平均变化率为=0.25(千克/月).答案:0.25千克/月核心互动探究探究点一 求函数的平均变化率【典例1】求函数y=f(x)=3x2+2在区间x0,x0+x上的平均变化率,并求当x0=2,x=0.1时平均变化率的值.【思维导引】利用平均变化率的定义求解.【解析】函数y=f(x)=3x2+2在区间x0,x0+x上的平均变化率为=6x0+3x.当x0=2,x=0.1时,函数y=3x2+2在区间2,2.1上的平均变化
5、率为62+30.1=12.3.【延伸探究】在本例中,分别求函数在x0=1,2,3附近x取时的平均变化率k1,k2,k3,并比较其大小.【解析】由例题可知,函数在x0,x0+x上的平均变化率为6x0+3x.当x0=1,x=时,函数在1,1.5上的平均变化率为k1=61+30.5=7.5;当x0=2,x=时,函数在2,2.5上的平均变化率为k2=62+30.5=13.5;当x0=3,x=时,函数在3,3.5上的平均变化率为k3=63+30.5=19.5.所以k1k2k3.【类题通法】求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量x与函数值的增量y,主要步骤是:(1)先计算函数
6、值的改变量y=f(x1)-f(x0);(2)再计算自变量的改变量x=x1-x0;(3)得平均变化率【定向训练】若函数y=f(x)=x2-1,图像上点P(2,3)及其邻近一点Q(2+x,3+y),则=()A.4B.4x C.4+xD.x【解析】选C.因为y=(2+x)2-1-(22-1)=4x+(x)2,所以=4+x.探究点二 平均变化率的比较【典例2】已知函数f(x)=3-x2,计算当x0=1,2,3,x=时,平均变化率的值,并比较函数f(x)=3-x2在哪一点附近的平均变化率最大?【思维导引】先利用平均变化率的定义分别求解,然后比较大小.【解析】函数f(x)=3-x2在x0到x0+x之间的平
7、均变化率为当x0=1,x=时,平均变化率的值为-;当x0=2,x=时,平均变化率的值为-;当x0=3,x=时,平均变化率的值为-,因为所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.【类题通法】平均变化率比较大小问题:(1)计算函数值的改变量y;(2)计算平均变化率(3)比较各平均变化率的大小.【定向训练】函数y=-x2,y=,y=2x+1,y=在x=1附近(x很小时),平均变化率最大的一个是()A.y=-x2B.y=C.y=2x+1D.y=【解析】选C.y=-x2在x=1附近的平均变化率为k1=-(2+x);y=在x=1附近的平均变化率为k2=;y=2x+1在x=1附近的平均变化率
8、为k3=2;y=在x=1附近的平均变化率为k4=;当x很小时,k10,k20,0k40B.x0C.x=0D.x0【解析】选D.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量x要求x0.2.函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+x时,y=()A.f(x0+x)B.f(x0)+xC.f(x0)xD.f(x0+x)-f(x0)【解析】选D.y看作相对于f(x0)的“增量”,可用f(x0+x)-f(x0)代替.3.函数y=在x=1附近,当x=时,平均变化率为_.【解析】答案:-24.已知某质点按规律s=2t2+2t(单位:m)做直线运动,求:(1)该质点在前3 s内的平均速度;(2)该质点在2 s到3 s内的平均速度.【解析】(1)由题设知,t=3,s=s(3)-s(0)=24,所以平均速度v=8(m/s).(2)由题意知,t=3-2=1,s=s(3)-s(2)=12,所以平均速度v=12 m/s.本课结束
