1、第2课时 等比数列习题课 核心互动探究探究点一 错位相减法【典例1】已知等比数列an满足:a1=,a1,a2,a3-成等差数列,公比q(0,1),(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=nan,求数列bn的前n项和Sn.【思维导引】(1)根据a1,a2,a3-成等差数列求得公比q,写出通项公式;(2)利用错位相减法求和.【解析】(1)因为a1,a2,a3-成等差数列,a1=,所以2a2=a1+a3-,即4q2-8q+3=0,解得q=或q=,又因为q(0,1),所以q=,所以an=(2)根据题意得bn=nan=,Sn=,作差得Sn=,Sn=2-(n+2).【母题探究】1.本题中设cn=,求数列
2、cn的前n项和Sn.【解析】由题意知cn=n2n所以Sn=121+222+323+(n-2)2n-2+(n-1)2n-1+n2n,2Sn=122+223+324+(n-2)2n-1+(n-1)2n+n2n+1,两式相减得:-Sn=121+22+23+24+2n-1+2n-n2n+1=-n2n+1=(1-n)2n+1-2,所以Sn=(n-1)2n+1+2.2.本题中设dn=(2n-1)an,求数列dn的前n项和Tn.【解析】由题意可得Tn=1 +3 +(2n-1),Tn=1 +3+(2n-3)+(2n-1),两式相减得Tn=1 +2 +2 -(2n-1)=+-(2n-1)=,所以Tn=.【类题通
3、法】错位相减法的适用题目及注意事项(1)适用范围:它主要适用于an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和.(2)注意事项:利用“错位相减法”,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意使两式错位对齐,以便于作差,正确写出(1-q)Sn的表达式.利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况.【定向训练】已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,nN+,数列bn满足an=4log2bn+3,nN+.(1)求an,bn;(2)求数列anbn的前n项和Tn.【解析】(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-1,当n=1时,a1也满足,所
4、以an=4n-1,nN+.由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,nN+.(2)由(1)知anbn=(4n-1)2n-1,nN+,所以Tn=3+72+1122+(4n-1)2n-1,2Tn=32+722+(4n-5)2n-1+(4n-1)2n,所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-3+4(2+22+2n-1)=(4n-5)2n+5.故Tn=(4n-5)2n+5,nN+.【补偿训练】已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n.bn是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式.(2)令cn=.求数列cn的前n项和Tn.【解析】(1)由题意知当n2时,an=Sn-Sn-
5、1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,符合上式.所以an=6n+5.设数列bn的公差为d.由即解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn=3(n+1)2n+1.由Tn=c1+c2+c3+cn,得Tn=3222+323+(n+1)2n+1,2Tn=3223+324+(n+1)2n+2.两式作差,得-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=3 =-3n2n+2,所以Tn=3n2n+2.探究点二 可化为等比数列的求和问题【典例2】已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n+1-2.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=Sn+log2 ,求数
6、列bn的前n项和Tn.【思维导引】(1)利用递推关系式求出数列的通项公式.(2)利用(1)的结论,转化为等比数列、等差数列的求和问题求解.【解析】(1)数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n+1-2.当n=1时,a1=2;当n2时,Sn-1=2n-2.,-得an=2n,经验证a1=2符合通项公式,故an=2n.(2)由于an=2n,Sn=2n+1-2.数列bn满足bn=Sn+log2 =2n+1-2-n.所以Tn=(22-2-1)+(23-2-2)+(2n+1-2-n)=(22+23+24+2n+1)-2n-(1+2+3+n)=2n+2-n2-4-n.【类题通法】非等差、等比数列求和问题的求解
7、方法(1)当数列an既不是等差数列又不是等比数列时,在求数列an的前n项和时,可通过转化的思想,将数列的求和问题转化为等差或等比数列求和问题解决,常用的方法有分组求和、裂项求和等.(2)非等差、等比数列求通项问题,可对an所满足的关系式进行变形,转化为等差或等比数列,借助于求和公式得出数列的通项公式.【定向训练】已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)求数列Sn的前n项和Tn.【解析】(1)因为Sn=2an-2,所以,-得,即=2an,即=2(常数),当n=1时,a1=S1=2a1-2,解得a1=2,所以an是首项为2,公比为2的等比数列,
8、通项公式为an=22n-1=2n.(2)由(1)知an=2n,故Sn=,Tn=2(21+22+2n)-2-2-2=-4-2n.【补偿训练】已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5,nN*.(1)证明数列an+1是等比数列.(2)求an的通项公式以及Sn.【解析】(1)由已知Sn+1=2Sn+n+5,nN*,可得当n2时,Sn=2Sn-1+n+4.两式相减得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1=2an+1,从而an+1+1=2(an+1),当n=1时,S2=2S1+1+5,所以a1+a2=2a1+6,又a1=5,所以a2=11,从而a2+1=2(a1
9、+1),故总有an+1+1=2(an+1),nN*,又a1=5,a1+10,从而=2,即数列an+1是首项为6,公比为2的等比数列.(2)由(1)得an+1=62n-1,所以an=62n-1-1,于是Sn=-n=62n-n-6.探究点三 等差、等比数列的综合应用【典例3】已知Sn是等比数列an的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.(1)求数列an的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得Sn2 013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.【思维导引】(1)设数列an的公比为q.由题意列出等比数列an的首项a1与公比q的方程组解出a1与q,进而求a
10、n.(2)在(1)的基础上求出Sn,是否存在正整数n使得Sn2 013,关键是看不等式Sn2 013有无正整数解.【解析】(1)设数列an的公比为q,则a10,q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an=3(-2)n-1.(2)由(1)有Sn=1-(-2)n.若存在n,使得Sn2 013,则1-(-2)n2 013,即(-2)n-2 012.当n为偶数时,(-2)n0,上式不成立;当n为奇数时,(-2)n=-2n-2 012,即2n2 012,则n11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为n|n=2k+1,kN*,k5.【类题通法】与等差、等比数列有关的综合问题,解题中应注
11、意的方法与技巧(1)转化思想:将非等差(比)数列转化,构造出新的等差(比)数列,以便于利用其公式和性质解题.(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用.(3)当题中有多个数列出现时,既要研究单一数列项与项之间的关系,又要关注各数列之间的相互联系.(4)涉及前n项和Sn的,要注意an=Sn-Sn-1(n2)在an与Sn关系中的应用.【知识拓展】存在性、探索性问题的基本特征及解题策略(1)基本特征:要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立.(2)解题策略:假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛
12、盾,则否定假设,否则,给出肯定结论.【定向训练】已知数列an的前n项和Sn=2n-n2,an=log5bn,其中bn0,求数列bn的前n项和Tn.【解析】当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n-n2)-2(n-1)-(n-1)2=-2n+3,当n=1时,a1=S1=21-12=1也适合上式,所以an的通项公式an=-2n+3(nN+).又an=log5bn,所以log5bn=-2n+3,于是bn=5-2n+3,bn+1=5-2n+1,所以.因此bn是公比为的等比数列,且b1=5-2+3=5,于是bn的前n项和Tn=【课堂小结】课堂素养达标1.设等比数列an的前n项和为Sn,若S10S5=12,
13、则S15S5等于()A.34B.23 C.12D.13【解析】选A.设S5=2k(k0),则S10=k,所以S10-S5=-k.由S5,S10-S5,S15-S10成等比数列得S15-S10=k,于是S15=k,所以S15S5=k2k=34.2.等比数列an的公比为q(q1),则数列a3,a6,a9,a3n,的前n项和为()【解析】选C.等比数列中,序号成等差数列,则这些项仍成等比数列,则a3,a6,a3n,是等比数列,且首项为a3,公比为=q3,再用等比数列的前n项和公式求解,即Sn=.3.(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=_.【解析】依题意,作差得a
14、n+1=2an,所以数列an是公比为2的等比数列,又因为a1=S1=2a1+1,所以a1=-1,所以an=-2n-1,所以S6=-63.答案:-634.数列的前n项和为_.【解析】通项an=所以前n项和Sn=n-=n-1+.答案:n-1+5.等比数列an的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求an的公比q;(2)若a1-a3=3,求Sn.【解析】(1)因为S1,S3,S2成等差数列,所以2S3=S1+S2,显然an的公比q1,于是=a1+,即2(1+q+q2)=2+q,整理得2q2+q=0,所以q=-(q=0舍去).(2)因为q=-,又a1-a3=3,所以a1-a1(-)2=3,解得a1=4.于是Sn=本课结束
