1、第2课时 等比数列的性质主题1 等比数列的性质 在等差数列an中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*),类比此性质,在等比数列an中有什么性质呢?并证明.基础预习初探提示:在等比数列an中,若m+n=p+(m,n,p,N*),则aman=apa.证明如下:因为aman=a1qm-1a1qn-1=qm+n-2,apa=a1qp-1a1q-1=qp+-2,又m+n=p+,故aman=apa.结论:等比数列的性质(1)如果x,G,y是等比数列,那么称G为x与y的_.(2)如果an是等比数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则asat=apaq.注意:两个正数或
2、两个负数的等比中项有两个,它们互为相反数;一个正数一个负数没有等比中项.等比中项【对点练】1.等比数列an中,a6=6,a9=9,则a3等于()A.3B.C.D.4【解析】选D.由题得=a3a9,所以36=9a3,所以a3=4.2.若数列an为等比数列,则下列式子一定成立的是()A.a2+a5=a1+a6B.a1a9=a10C.a1a9=a3a7D.a1a2a7=a4a6【解析】选C.由等比数列的性质知a1a9=a3a7.3.在等比数列an中,若a2,a9是方程x2-x-6=0的两个根,则a5a6的值为()A.6B.-6C.-1D.1【解析】选B.因为a2,a9是方程x2-x-6=0的两个根,
3、所以,a2a9=-6,因为数列an是等比数列,所以a5a6=a2a9=-6.主题2 由等比数列衍生的等比数列已知等比数列an的前4项为1,2,4,8,判断下列说法是否正确.(1)3an是等比数列;(2)3+an是等比数列;(3)是等比数列;(4)a2n是等比数列.提示:由定义可判断出(1),(3),(4)正确,(2)错误.结论:(1)在等比数列an中按序号从小到大取出若干项:若k1,k2,k3,kn,成等差数列,那么是等比数列.(2)如果an,bn均为等比数列,那么数列,anbn,|an|是_数列.等比【对点练】在等差数列an中,公差d0,a1,a2,a4成等比数列,已知数列a1,a3,也成等
4、比数列,求数列kn的通项公式.【解析】由题意得=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),得d(d-a1)=0,又d0,所以a1=d.又a1,a3,成等比数列,所以该数列的公比q=3,所以=a1 .又=a1+(kn-1)d=kna1,所以数列kn的通项公式为kn=.核心互动探究探究点一 利用等比数列的性质求解基本量【典例1】(1)在递增的等比数列an中,a4,a6是方程x2-10 x+16=0的两个根,则数列an的公比q=()A.2B.2C.D.或2(2)已知各项均为正数的数列an为等比数列,a1a5=16,a3+a4=12,则a7=()A.16B.32C.64D.256【思维导引】(1
5、)由根与系数的关系得关于a4,a6的方程组,求得a4,a6再由an为递增数列,从而求出q的值.(2)根据等比数列的性质可得a3=4,结合a3+a4=12,可得a4=8,公比q=2,从而可得结果.【解析】(1)选A.因为a4,a6是方程x2-10 x+16=0的两个根,所以解得或又因为等比数列an是递增的,所以且q1,则q=2.(2)选C.由a1a5=16,得=16,又各项均为正数,所以a3=4,由a3+a4=12,得a4=8,所以公比q=2,所以a7=a3q7-3=424=64.【类题通法】巧用等比数列的性质解题(1)解答等比数列问题的基本方法基本量法基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的
6、方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解;优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.(2)利用等比数列的性质解题基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题;优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.【定向训练】在等比数列an中,已知a3=9,a6=243,求a5.【解析】方法一:因为a3=a1q2=9,a6=a1q5=243,所以q3=27,则q=3,a1=1,所以a5=a1q4=134=81.方法二:因为a6=a3q3,所以q3=27,q=3,所以a5=a3q2=932=81.探究点二 等比数列性质的应用【典例2】(1)计
7、算机的价格不断降低,若每台计算机的价格每年降低,现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降为()A.300元B.900元C.2 400元D.3 600元(2)三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.【思维导引】(1)建立等比数列模型,运用等比数列的性质求解.(2)巧妙设未知量,根据等比数列、等差数列的性质列出方程组,求解.【解析】(1)选C.降低后的价格构成以为公比的等比数列.则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降为8 100 =2 400(元).(2)设三个数依次为,a,aq,因为aaq=512,所以a=8.因为+(aq
8、-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=,所以这三个数为4,8,16或16,8,4.【类题通法】解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.(2)对于解答题注意基本量及方程思想.(3)注意问题的转化,利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列,以便利用公式和性质解题.(4)当题中出现多个数列时,既要纵向考虑单一数列的项与项之间的关系,又要横向考虑各数列之间的内在联系.【延伸探究】已知数列an为等差数列,公差d0,由an中的部分项组成的数列,为等比数列,其中b1=1,b2=5,b3=17.求数列bn的通项公式.【解题指南】
9、根据成等比数列,得出等差数列an的首项与公差的关系,从而求出数列 的通项,再根据为等差数列an中的第bn项,求出数列bn的通项.【解析】依题意=a1a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d),所以 a1d=2d2,因为d0,所以a1=2d,数列 的公比q=3,所以=a1 3n-1,又=a1+(bn-1)d=a1,由得a13n-1=a1.因为a1=2d0,所以bn=23n-1-1.【定向训练】已知等比数列an,bn,cn的公比分别为2,A,B,记bn=a4(n-1)+1+a4(n-1)+2+a4(n-1)+3+a4(n-1)+4,cn=a4(n-1)+1a4(n-1)+2a4(n-1)+3
10、a4(n-1)+4(nN*),则=_.【解析】根据题意,等比数列an,bn,cn公比分别为2,A,B,又bn=a4(n-1)+1+a4(n-1)+2+a4(n-1)+3+a4(n-1)+4,则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,则有A=24,cn=a4(n-1)+1a4(n-1)+2a4(n-1)+3a4(n-1)+4,则cn+1=a4n+1a4n+2a4n+3a4n+4,则有B=216,则 .答案:探究点三 由递推关系转化为等比数列求通项【典例3】已知Sn为数列an的前n项和,且Sn=2an+n2-3n-1,n=1,2,3(1)求证:数列an-2n为等比数列;(2)求数
11、列an的通项公式.【思维导引】(1)当n2时,an=Sn-Sn-1,因此可将条件中的式子转化为数列的一个递推关系,从而得证;(2)考虑到数列an-2n为等比数列,先求数列an-2n的通项公式,再求an的通项公式.【解析】(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=2an+n2-3n-1-2an-1-(n-1)2+3(n-1)+1,整理得an=2an-1-2n+4,所以an-2n=,所以=2,因为S1=2a1+1-31-1,所以a1=3,a1-21=1,所以an-2n是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得an-2n=2n-1,所以an=2n-1+2n.【类题通法】1.已知数列的前n项和或前
12、n项和与通项的关系求通项,常用an与Sn的关系求解.2.由递推关系an+1=Aan+B(A,B为常数,且A0,A1)求an时,由待定系数法设an+1+=A(an+)可得=,这样就构造了等比数列an+.【课堂小结】课堂素养达标1.在等比数列an中,a2=4,a7=,则a3a6+a4a5的值是()A.1B.2C.D.【解析】选C.a3a6=a4a5=a2a7=4 =,所以a3a6+a4a5=.2.设等差数列an的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于()A.2B.4C.6D.8【解析】选B.因为an=(n+8)d,又因为=a1a2k,所以(k+8)d2=9d(2k+8)
13、d,解得k=-2(舍去),k=4.3.已知数列:4,a,12,b中,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,则b等于_.【解析】由题意可得2a=4+12=16a=8,122=8bb=18.答案:184.已知数列an为等比数列,(1)若a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求an;(2)若a3a5=18,a4a8=72,求公比q.【解析】(1)因为a1a2a3=216,所以a2=6,所以a1a3=36.又因为a1+a3=21-a2=15,所以a1,a3是方程x2-15x+36=0的两根3和12.当a1=3时,q=2,an=3 ;当a1=12时,q=,an=12 .(2)因为a4a8=a3qa5q3=a3a5q4=18q4=72,所以q4=4,所以q=.本课结束
