1、第2课时 等差数列的性质新课程标准素养风向标1.掌握等差数列的性质,能用性质解决一些实际问题2.能用等差数列的知识解决一些应用问题1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质(数学抽象)2.能运用等差数列的性质解决有关问题(数学运算)主题1 等差数列的性质1.观察等差数列an的序号与项,回答问题:(1)3+6=4+5,a3+a6与a4+a5相等吗?提示:相等.(2)若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq吗?提示:相等.因为am=3m,an=3n,ap=3p,aq=3q,所以am+an=3(m+n),ap+aq=3(p+q),因为m+n=p+q,故am+an=ap+a
2、q.基础预习初探2.试想一下问题1中等差数列若换为一般的等差数列,等式还成立吗?对于任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等差数列an中,am+an与ap+aq之间有怎样的关系?为什么?提示:成立.am+an=ap+aq.因为am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(n+m-2)d,而ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d,又因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.结论:等差数列的性质(1)如果x,A,y是等差数列,那么称A为x与y的_.(2)在等差数列an中,正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则as+at=_
3、.等差中项ap+aq【对点练】1.在等差数列an中,若a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5 B.8 C.10 D.14【解析】选B.由等差数列的性质,得a1+a7=a3+a5,因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8.2.在等差数列an中,若a2=1,a6=-1,则a4=()A.-1B.1C.0D.-【解析】选C.2a4=a6+a2=-1+1=0,所以a4=0.3.等差数列an中,已知a100=120,a90=100,则公差d=_.【解析】由等差数列的性质知答案:2主题2 由等差数列衍生的新数列若an是公差为d的等差数列,那么an+an+2是等差数列吗?若是,公差是多少?提示:因
4、为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=d+d=2d,所以an+an+2是公差为2d的等差数列.结论:若an,bn分别是公差为d,d的等差数列,则有数列结论c+an公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)an+an+k公差为2d的等差数列(k为常数,kN*)pan+qbn公差为pd+qd的等差数列(p,q为常数)【对点练】下面是关于公差是d(d0)的等差数列an的四个说法:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中正确的是()A.p1,p
5、2B.p3,p4 C.p2,p3D.p1,p4【解析】选D.对于p1:an=a1+(n-1)d,d0,所以an-an-1=d0,则p1正确;对于p2:nan=na1+n(n-1)d,所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关.故数列nan不一定递增,则p2不正确;对于p3:所以当d-a10,即da1时,数列是递增数列,但da1不一定成立,则p3不正确;对于p4:设bn=an+3nd,则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d0.所以数列an+3nd是递增数列,p4正确.综上,正确的是p1,p4.核心互动探究探究点一 等差数列的性质及应用【典例1】(
6、1)等差数列1+x,2x+2,5x+1,的第四项等于()A.10 B.6 C.8 D.12(2)已知等差数列an中a5+a6+a7=15,a5a6a7=45,求an的通项公式.【思维导引】(1)根据等差中项的性质求出x,进而求出公差,得出答案.(2)先利用性质求出a6,然后解a5与a7的方程组,进而求出a5与a7,最后再由性质求an.【解析】(1)选C.由题意可得,(1+x)+(5x+1)=2(2x+2),解得x=1,所以这个数列为2,4,6,8,.(2)因为a5+a6+a7=3a6=15,所以a6=5,因此解得若若【类题通法】等差数列运算的常用思路(1)根据已知条件,列出关于a1,d的方程(
7、组),确定a1,d,然后求其他量.(2)利用性质巧解,观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,rN*),则am+an=ap+aq=2ar.【知识拓展】等差数列的常用性质an是公差为d的等差数列.(1)(2)数列an+b(,b是常数)是公差为d的等差数列.(3)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为md的等差数列.(4)若数列bn为等差数列,则anbn,kan+bn(k为非零常数)也是等差数列.(5)项数间隔相等或连续等长的项之和仍构成等差数列.【定向训练】已知数列an为等差数列,且公差为d.(1)若a15=8,a60=20,
8、求a105的值;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.【解析】(1)方法一:由题意得故a105=a1+104d=+104 =32.方法二:因为an为等差数列,所以所以a105=a60+45 =32.方法三:因为an为等差数列,所以a15,a60,a105也成等差数列,则2a60=a15+a105,所以a105=220-8=32.(2)由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,所以a2+a5=17,由所以探究点二 等差数列的设法与求解【典例2】已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.【思维导引】方法一:直接设首项和公差,将已
9、知条件转化为方程组求解.方法二:直接设出4个数,根据题中条件列方程组求解.方法三:等差数列相邻四项和为26,这四项有对称性,用对称设法求解.【解析】方法一:设此等差数列的首项为a1,公差为d,由已知,得化简得所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.方法二:设这四个数分别为a,b,c,d,由已知,得所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.方法三:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,由已知,化简得所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【类题通法】等差数列的设法(1)当等差数列an的项数n为奇数时,可设中间项为a,再以公差为d向两边分别设项
10、:,a-d,a,a+d,.(2)当等差数列an的项数n为偶数时,可设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:,a-3d,a-d,a+d,a+3d,.【定向训练】1.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为_.【解析】设这三个数为a-d,a,a+d,则所以这三个数为-1,3,7或7,3,-1,它们的积为-21.答案:-212.已知四个数成等差数列,这四个数的平方和为94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18,求这四个数.【解析】设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,据题意可得故有2a2+10d2=47.又可得8d2=18,解得d=.
11、代入得a=,故所求四数为8,5,2,-1或1,-2,-5,-8或-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.探究点三 等差数列的实际应用【典例3】梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度.【思维导引】可设a1=33,a12=110,n=12,求出an的通项公式,进而求出各级的宽度.【解析】用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列,由已知,得a1=33,a12=110,n=12.由通项公式,得a12=a1+(12-1)d,即110=33+11d.解得d=7.因此,a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61
12、,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.【类题通法】利用等差数列解决实际问题的注意点(1)实际应用的关键是从实际问题中抽象出等差数列模型.(2)公差不为0的等差数列的图像是一条直线上均匀排列的孤立的点,反之,给出这样的图像,那么它们之间构成等差数列,利用等差数列的性质解题.(3)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方
13、法解决.(4)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、公差、项数等关键量.【定向训练】我国南北朝时的数学著作张邱建算经中有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入,得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何.”在该问题中,中等级中的五等人与六等人所得黄金数为()A.B.C.D.【解析】选C.设an为第n等人的得金数,则an为等差数列,由题设可知a1+a2+a3=4,a8+a9+a10=3,故a2=,a9=1,而a5+a6=a2+a9=.【补偿训练】某市2016年底绿地面积为560平方千米,预计每年都比上一年新增绿地面积4平
14、方千米,问到2026年底该市绿地面积为多少平方千米?【解析】将该市2016年起每年年底的绿地面积依次排成数列,记为an,由题意可知an为等差数列,其中a1=560,d=4,所以an=a1+(n-1)d=4n+556.2026年底的绿地面积在数列an中是第11项,所以a11=556+411=600(平方千米).答:到2026年底该市绿地面积为600平方千米.【课堂小结】课堂素养达标1.已知实数列1,x,y,z,5成等差数列,则x+y+z=()A.3B.6C.9D.12【解析】选C.因为实数列1,x,y,z,5成等差数列,所以1+5=x+z=2y,得y=3,所以x+y+z=3+6=9.2.在等差数
15、列an中,已知a4=2,a8=14,则a15等于_.【解析】由a8-a4=(8-4)d=4d=14-2=12,得d=3,所以a15=a8+(15-8)d=14+73=35.答案:353.在等差数列an中,a4+a5=15,a7=12,则a2等于_.【解析】由等差数列的性质,得a4+a5=a2+a7,所以a2=15-12=3.答案:34.已知an为等差数列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24.(1)求a20的值;(2)若bn=an-,试判断数列bn从哪一项开始大于0.【解析】(1)因为a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24,所以a3=6,a4=8,则公差d=2,所以a20=a3+17d=40.(2)由(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)2=2n,所以bn=2n-=3n-.由bn0,即3n-0,得n ,所以数列bn从第7项开始大于0.本课结束
