1、小题压轴题专练19立体几何（线面角2）一单选题1在正三棱柱中，则与平面所成角的余弦值为ABCD2如图，在等腰直角三角形中，点为的中点现将沿折起至，使为钝角三角形，设直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则，的大小关系为ABCD3如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，且，点是的中点，则直线与侧面所成角的正切值的最小值是ABCD4已知四面体中，两两垂直，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为ABCD5一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，现将两块三角板拼接在一起，取中点与中点，则下列直线与平面所成的角不为定值的是ABCD6已
2、知正三棱柱的底面边长为，且该三棱柱外接球的表面积为，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为ABCD7在所有棱长都相等的直三棱柱中，分别为棱，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为ABCD8如图，四棱锥中，平面，是中点，是线段上的点，设与平面所成角为，则的最大值为ABCD二多选题9已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，则A点的轨迹是一个圆B点的轨迹是一个圆C的最小值为D与平面所成角的正弦值的最大值为10已知图1中，是正方形各边的中点，分别沿着，把，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则A是正三角形B平面平面C直线与平面所成角的正切值为D当时，多
3、面体的体积为11正方体中，为棱的中点，则下列说法正确的是A平面B平面C直线与平面所成的正切值为D平面截正方体所得截面为等腰梯形12如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，则下列说法中正确的是A异面直线与所成的角为B三棱锥的体积为定值C平面与平面所成的二面角大小为D直线与平面所成的角为三填空题13如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，动点在底面内（包括边界），若平面，则与底面所成角的正切值的取值范围是14如图，平面外有一点，点到角的两边，的距离都等于，则与平面所成角的正切值为15在三棱锥中，点在平面内，且，设直线与平面所成角为，则的值为 16已知长方体的体积为40，外接球表面积为，点在线段上运动
4、（含端点位置），记直线与平面的所成角为，则的取值范围为小题压轴题专练19立体几何（线面角2）答案1解：取中点，连接，是等边三角形，平面，平面，又，平面，平面，平面，为与平面所成的角，设，则，故选：2解：，为钝角三角形，为钝角，又，到平面的距离等于到平面的距离，记为，则，又， 都是锐角，故选：3解：取的中点，连接、，则，由正三棱柱的性质可知，面面，而面面，面取的中点，连接、，为的中点，面，即点在面上的投影为点，即为直线与侧面所成角在中，当且仅当时，等号成立直线与侧面所成角的正切值的最小值为故选：4解：取的中点，连接，过作交于，是的中点，又，平面，又平面，平面平面，又平面平面，平面，故为与平面所成
5、的角，故，又，故选：5解：，分别为，的中点，则，又，而，平面，与平面所成的角分别为和，相等为，根据直线与平面所成角的定义可知，与平面所成的角为，故只有与平面所成的角不为定值故选：6解：取中点，过作平面，交于，则的中点是该三棱柱外接球的球心，正三棱柱的底面边长为，该三棱柱外接球的表面积为，该三棱柱外接球的半径，平面，是与平面所成角，故选：7解：因为是所有棱长都相等的直三棱柱该棱柱的上下底面是正三角形，侧面都是正方形，设各棱长均为2，取的中点为原点，直线，分为，轴建立如图所示的空间直角坐标系则，0，1，1，设平面的法向量，令，得且设所求角为，则，故选：8解：如图所示，作，垂足为，平面，平面，平面平
6、面，又，平面，平面连接，则是与平面所成角为，作，连接，此时点到的距离最短，取得最小值，因此取得最大值不妨设，则，可得，则故选：9解：对于选项，在正方体中，平面，平面，所以，故，则有，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，故选项正确；对于选项，在正方体中，平面，因为，则平面，故在上，所以的轨迹是线段，故选项错误；对于选项，的最小值即为求线段上的点到以为圆心，1为半径的圆的最小距离，又圆心到线段的距离为，所以的最小值为，故选项正确；建立如图所示的空间直角坐标系，因为点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，故设，则，0，0，0，2，所以，设平面的法向量为，则有，令，则，故，设与平面所成的角为，则，当时，有
7、最大值，故与平面所成角的正弦值的最大值为，故选项正确故选：10解：取，的中点，连结，在图1中，因为，是正方形各边的中点，则，因为为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以平面，在图1中，设正方形的边长为，可得四边形的边长为，在图1中，和均为等腰直角三角形，可得，所以，故四边形是边长为的正方形，因为，分别为，的中点，则且，所以四边形为矩形，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，0，0，对于选项，由空间中两点间的距离公式可得，所以是正三角形，故选项正确；对于选项，设平面的法向量为，则由，取，则，设平面的法向量为，则有，取，则，所以，所以平面与平面不垂直，故
8、选项错误；对于选项，设直线与平面所成的角为，则，所以，故，故选项正确；对于选项，以为底面，以为高将几何体补成长方体，则，分别为，的中点，因为，即，则，长方体的体积为，因此多面体的体积为，故选项错误故选：11解：正方体中，为棱的中点对于，且平面，与平面相交，故错误；对于，与不垂直，不垂直于平面，故错误；对于，平面，平面平面，是直线与平面所成的角，设正方体中棱长为2，则，直线与平面所成的正切值为，故正确；对于，取中点，连结，则，平面截正方体所得截面为等腰梯形，故正确故选：12解：因为，所以异面直线与所成的角为，为，故错误；三棱锥的体积为为定值，故正确；连接，平面即为平面，平面平面，由正方体的结构特
9、征可得，所以即为平面与平面所成的二面角的平面角，又，所以平面与平面所成的二面角大小为，故正确在三棱锥中，设到平面的距离为，即有，解得，直线与平面所成的角的正弦为，即直线与平面所成的角为，正确故选：13解：如图所示，取的中点，连接、，则，、面，、面，面面，平面，且点在底面上，点在线段上运动连接、，则为直线与面所成的角，在中，当点与点重合时，最长为2；当时，最短为，即，故答案为：，14解：由题意，过点做面于点，连接，则即与平面所成角，点到角的两边，的距离，都等于由面可得，又到角的边的距离，可得，面，所以，同理可证得，又由题设条件可得，从而可得，故是角平分线，在中，由公股定理得，在中，所以又，解得，在中，由公股定理解得，故答案为15解：根据题意，作出三棱锥如图所示，设为中点，连接，设中点为，连接，是中点，且，同理，是中点，且，平面，平面，面，又，是等边三角形，是中点，且，面，又直线与平面所成角为，且，则，故答案为：16解：长方体的体积为40，外接球表面积为，故，设，又，所以，解得，作出图形如图所示，连结，因为平面，则，所以，设斜边上的高为，则，求得，此时最短，结合，所以，故，故的取值范围为故答案为：声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/30 14:22:19；用户：尹丽娜；邮箱：13603210371；学号：19839377第19页（共19页）
