1、小题压轴题专练15向量（数量积）一、 单选题1如图，在中，是边的中点，是线段的两个三等分点，若，则ABC1D22在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，和点若点在的角平分线上，且，则ABC2D63如图，在任意四边形中，其中，分别是，的中点，分别是，的中点，求ABCD4已知、分别是的三边、上的点，且满足，则ABCD5如图，正的边长为1，为扇形内一点（包括边界），则的取值范围是A，B，C，D，6已知，为圆上的两点，且点是圆上的动点，则的取值范围是A，B，C，D，7如图，已知是半径为3，圆心角为的一段圆弧上一点，则的最小值是ABCD8在中，内角，所对的边分别为，且满足，若能盖住的最大圆面积为，则的最
2、小值为A3B6C9D12二、 多选题9；9设平面向量，两两所成的夹角相等，且，则的值可能为A2B3C5D10已知中，点是线段上靠近点的三等分点，点在线段上，则的可能的值为A0BCD11对任意两个非零向量和，定义：若平面向量，满足，与的夹角，且和都在集合中，则的值可能为A5B4C3D212已知的顶点坐标为，点的横坐标为14，且，点是边上一点，且，为线段上的一个动点，则AB点的纵坐标为CD的最小值为三、 填空题13已知圆是的外接圆，半径为1，且，则14若向量，满足，则15在锐角中，则的取值范围为 16已知非零平面向量，满足，的夹角为，与的夹角为，则的取值范围是 小题压轴题专练15向量（数量积）答案
3、1解：是的中点，是上的两个三等分点，可得，所以，故选：2解：点，可知与轴正方向所角为，如图点，和点那么，余弦定理可得，点在的角平分线上，且，那么，可得的坐标为，；故选：3解：如图，具题意构造直角梯形，设，令，分别是，的中点，分别是，的中点，如图建立平面直角坐标系，则，所以，所以，所以故选：4解：，即，如图所示，连接，、四点共圆，即，即故选：5解：以所在直线为轴，过与垂直的自治县为轴，如图，可得，其中是在上的投影，显然，在时投影取得最小值，图形中的处，投影取得最大值，所以的最小值为：，的最大值为：则的取值范围是，故选：6解：如图，圆的半径为1，且易得由题意知设的中点为，则，且，设与的夹角为，则又
4、因为，所以的范围为，故选：7解：由题意可得，又因为，则，所以，取的中点，则，两式平方后作差得，要使最小，就要使 最小，易知当圆弧的圆心与点，三点共线时，最小，设的中点为，圆心为，连接和，此时，在中，所以的最小值为，代入求得最小值为故选：8解：因为，所以，在中，可得，解得或（舍，所以，所以；又能盖住的最大圆面积为，所以的内切圆面积为，所以内切圆的半径为，所以的面积为，即，由余弦定理，得，所以，所以，所以，所以，当且仅当时取“”，即，解得或，又因为，所以，所以，即，所以，当且仅当时取“”，所以的最小值为6故选：9；9解：当平面向量，两两所成的夹角为时，由，得；当平面向量、两两所成的夹角相等且不为时
5、，则，又，所以；综上知，的值可能为5或2故选：10解：以为原点，、所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系设中，点是线段上靠近点的三等分点，则，点在线段上，当时，解得：或，对；当时，解得：（舍去）或，错；当时，解得：，对；当时，无解，错故选：11解：依题意，两式相乘得，两式相除得，即，且，与的夹角，即，结合，且，可得，或，或，即故选：12解：设，则，由，得，解得，故错误，正确；设，则，即，又点在上，即，联立，解得，则，故正确；为线段上的一个动点，设，且，则，则，当时，的最小值为，故错误故选：13解：的外接圆半径为1，又，两边平方得：，所以故答案为：14解：由，解得，故故答案为：15解：以为原点，所在直线为轴建立坐标系，建立平面直角坐标系，如图所示：因为，所以，设点，因为是锐角三角形，所以，且，过点作轴与点，过点作，交轴于点，则在线段上（不与、重合），所以，则，由二次函数的性质知，时，时，所以的取值范围是故答案为：16解：如图：以点为起点作向量，则，由，的夹角为，与的夹角为可知：四点、共圆，设半径为在中：，由图可得：，故答案为：，
