1、2006浙江省普通高等学校招生统一考试模拟试卷数 学 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=pk(1-p)n-k 正棱锥、圆锥的侧面积公式S锥侧=cl，其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长 球的表面积公式S=4R2，其中R表示球的半径 球的体积公式V=R3，其中R表示球的半径一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设M和m分别表示函数y=2sinx
2、-1的最大值和最小值，则M+m等于 A.1B.2 C.-2 D.-12.设集合M=x|x2-x0，xR，N=x|x|2，xR，则M、N的关系为 A.N M B.MN=M C.MN=M D.MN=R3.函数y=log2(1-x)的图象是 A B C D4.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为 A. B. C.2 D.45.设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于 A. B. C. D.6.曲线y=x4上的点到直线x-2y-1=0的距离的最小值是 A. B. C. D.7.已知一个四面体的5条棱长都等于2，则它的体积的最大值为 A. B. C.1 D.28.直线(
3、3m+2)x-(2m-1)y+5m+1=0必过定点 A.(-1，1-) B.(1，1) C.(1，-1) D.(-1，1)9.如果一个三位正整数的中间一个数字比另两个数字小，如305，414，879等，则称这个三位数为凹数，那么所有凹数的个数是 A.240 B.285 C.729 D.92010.对抛物线C：y2=4x，我们称满足y024x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线L：y0y=2(x+x0)与曲线C A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点 C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点 D.没有公共点二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分
4、，把答案填在题中横线上)11.已知|a|=3，|b|=5，且ab=12，则a在b的方向上的投影为_.12.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样取一个样本容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n=_.13.在(1-x)(1+x)10的展开式中，x3的系数为_.(用数字作答)14.设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)，给出下列命题：f(x)有最小值；当a=0时，f(x)值域为R；当a0时，f(x)在2，+)上有反函数；若f(x)在区间2，+)上单调递增，则实数a的取值范围是a-4，其中正确命题的序号为_. 三、解答题(本大题共6小题，共8
5、4分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分) 已知向量a=(cos，sin)，b=(cos，sin)，|a-b|=. (1)求cos(-)的值； (2)若0，-0，且sin=-，求sin的值.16.(本小题满分14分) 一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算这一时间段内： (1)恰有一套设备能正常工作的概率； (2)能进行通讯的概率.17.(本小题满分14分) 如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA平
6、面ABCD，PA=1. (1)在BC边上是否存在点Q，使得PQQD，说明理由； (2)若BC边上有且仅有一个点Q，使PQQD，求AD与平面PDQ所成角的正弦值； (3)在(2)的条件下，能求出平面PQD与平面ABP所成的角的大小吗？18.(本小题满分14分) 设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b，0a1. (1)求函数f(x)的单调区间、极值； (2)若当xa+1，a+2时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围.19.(本小题满分14分) (1)已知等比例an的公比为q，前n项和为Sn，是否存在常数C，使数列Sn+C也成比数列？若存在，求出C的值；若不存在，说明理由. (2)设等比
7、例数列an的前n项和为Sn.已知S3，S9，S8成等差数列，S16-S6，S10，xS5成等比数列，求x的值.20.(本小题满分14分) 以O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系.设=1，点F的坐标为(t，0)，t3，+)，点G的坐标为(x0，y0). (1)求x0关于t的函数x0=f(t)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断； (2)设OFG的面积S=，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G，求当|取得最小值时椭圆的方程； (3)在(2)的条件下，若点P的坐标为(0，)，C、D是椭圆上的两点，且=(1)，求实数的取值范围.参考答案 一、选择题 1.C M=2-1=1，
8、m=-2-1=-3，M+n=1-3=-2. 2.B M=(0,1)，N=(-2，2)，Mn=(0，1)=M. 3.C 由定义域知x1，故排除A、B，由函数单调递减，故选C. 4.A 椭圆方程为，由题意得=21，m=4. 5.A 设S4=m,则S8=3m，S8-S4=2m，由等差数列性质知，S12-S8=3m，S16-S12=4m，S16=10m，. 6.D 设直线L平行于直线y=2y+1,且与曲线y=x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d，即点P到直线y=2y+1的距离，y=4x3=. x0=，y0=. . 7.C 设PB=PC=AB=BC=AC=2，则当面PBC面ABC时，四面体PAB
9、C体积最大，V=1. 8.D 代入检验知直线过定点(-1，1). 9.B 分别将0，1，2，38放在十位上，则凹数个数为 92+82+72+12=9(9+1)(29+1)=285. 10.D 由L与C方程消x得y2-2y0y+4x0=0(*)，=4y02-16x0=4(y02-4x0)0. 方程(*)无实根，l与C无公共点. 二、填空题 11. ab=|a|b|cos=12，|b|=5，|a|cos=. 12.200 13.75 . 14. 三、解答题 15.解：(1)a=(cos，sin)，b(cos，sin)， a-b=(cos-cos，sin-sin). 2分 |a-b|=， ， 4分
10、即2-2cos(-)=.cos(-). 7分 (2)0，0，0-. 9分 cos(-)，sin(-)=. sin=，cos=. 12分 sin=sin(-)+=sin(-)cos+cos(-)sin=+()=. 14分 16.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B，由题意知 P(A)=p3，P(B)=p3. 2分 P()=1-p3，P()=1-p3. (1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A+B)=P(A)P(B) 4分 =p3(1-p3)+(1-p3)p3=2p3-2p6. 7分 (2)解法一：两套设备都能正常工作的概率为P(AB)=P(A)P(B
11、)=p6. 9分至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为P(A+B)+P(AB)=2P3-2P6+P6=2P3-P6. 13分 解法二：两套设备都不能正常工作的概率为P()=P()P()=1(1-p3)2.9分 至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为 1-P()=1-P()P()=1(1-p3)2=2p3-p6. 13分 答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p3-2p6，能进行通讯的概率为2p3-p6. 14分 17.解：(1)当BC2时，不存在；当BC=2时，存在唯一；当BC2时，存在两个.4分 (2)此时，BC=2，Q为BC中点，连AQ，作AEPQ于E. DQPA
12、，DQPQ，DQ面PAQ.PDQ面PAQ.AE面PDQ，AE=，AD=2，sin=即正弦值为. 9分 (3)PA面ABCD，ABDA，ABBC， BC面PBA，DA面PBA，cos=. 11分 SPAB=11=，SPDQ=. cos，即大小为arccos. 14分 18.解：(1)f(x)=-x2+4ax-3a2. 令f(x)=-x2+4ax-3a2=0， 得x=a或x=3a. 2分 由表xa3ay-0+0-y递减递增b递减 可知：当x(-,a)时，函数f(x)为减函数； 当x(3a,+)时，函数f(x)也为减函数； 当x(a,3a)时，函数f(x)为增函数； 4分 当x=a时，f(x)的极小
13、值为； 当x=3a时，f(x)的极大值为b； 7分 (2)由|f(x)|a，得-a-x2+4ax-3a2a. 0a1， a+12a，f(x)=-x2+4ax-3a2，在a+1，a+2上为减函数. 10分 f(x)max=f(a+1)=2a-1， f(x)min=f(a+2)=4a-4. 于是，问题转化为求不等式组的解. 解不等式组，得a1. 又0a1，所求a的取值范围是a1. 14分 19.解：(1)q=1时，不存在C. 2分 Sn=(q1)，Sn=qn. C=. 6分 (2)当q=1时，S3=3q1，S8=8q1，S9=9q1，不合题意. 8分 当q1时， ，. 且q1，又成等比数列， S1
14、02=xS5(S16-S6). 10分 (1-q10)2=x(1-q5)(q6-q16). 1+q5=xq6，又2q6=1+q5. 2q6=xq6，而且q0.x=2. 14分 20.解：(1)由题意知， ，则. 解得. 设t1t23，则 t1-t20，t1t2-10，t1t20， f(t1)-f(t2)0，f(t1)f(t2)， 函数f(t)在区间3，+上单调递增. 4分 (2)由S=得y0=. 点Q的坐标为(t+), 函数f(t)在区间3，+上单调递增， 当t=3时，取得最小值，此时点F、G的坐标分别为(3，0)、(). 由题意设椭圆方程为. 由点G在椭圆上，得，解得b2=9. 所求椭圆方程为. 8分 (3)设C、D的坐标分别为(x,y)、(m,n)，则. 由=，得=，x=m，y=n-. 点C、D在椭圆上， . 消去m，得n=. 又|n|3，|3，解得5. 实数的取值范围是. 14分
