1、5.6.1匀速圆周运动的数学模型教学目的：（1）了解三角函数在实际生活中的简单应用；（2）学会利用三角函数解决实际生活中的现象.课型：新授课教学重点：三角函数的实际应用；教学难点：匀速圆周运动用三角函数来表示；教学过程：一、 引入课题匀速圆周运动的数学模型问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图5.6-1）.明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理（图5.6-2）假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗?因筒车上盛水筒的运动具有
2、周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？思考：如图5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过后，盛水筒从点运动到点.由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度，由以下量所决定：筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度，盛水筒的初始位置以及所经过的时间.下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒运动的数学模型.如图5.6-3，以为原点，以与水平面平行的直线为轴建立直角坐标系.设时，盛水筒位于点，以为始边，为终边的角为，经过后运动到点.于是，以为始边，为终边的角为，并且有所以，盛水筒距离水面的高度与时间的关系是函数就
3、是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律.由于是常量，我们可以只研究函数的性质二、基础自测例1如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离和时间的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A B C D解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，则，所以摆动一次所需时间为，故选D例2 一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面(即长)，巨轮的半径长为，巨轮逆时针旋转且每分钟转动一圈.若点为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为，则等于( )A. B. C. D. 解析：过点作地面平行线，过点作的垂线交于点.点在圆上逆时针运动的角速度是，
4、秒转过的弧度数为，设，当时，当时，上述关系式也适合.故.三、当堂检测1.如图，在平面直角坐标系中，质点、间隔分钟先后从单位圆上的一点出发，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第次达到最大值时，运动的时间为（）A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟解析：由题意，设质点出发后经过分钟，则有:，令，解得:，.与的纵坐标之差第次达到最大值时，运动的时间(分钟).2.如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为，圆环的圆心距离地面的高度为，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻时蚂蚁距离地面的高度；（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过？解析：（1）设在时刻时蚂蚁达到点，由在分钟内所转过的角为，可知以为始边，为终边的角为，则点的纵坐标为，则，.（2）.因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故不妨令，.所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有分钟时间蚂蚁距离地面超过4
