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2018届高考(新课标)数学(文)大一轮复习课件:第六章 数列 6-1 .ppt

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1、6.1 数列的概念与简单表示法 考纲要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 1数列的有关概念(1)数列的定义 按照_排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的_ 一定顺序项(2)数列的分类(3)数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是_、_和_ 2数列的通项公式(1)数列的通项公式 如果数列an的第n项与_之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式 列表法图象法解析法序号n【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达()(2)根据数列

2、的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)1,1,1,1,不能构成一个数列()(4)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列()(5)如果数列an的前n项和为Sn,则对nN*,都有an1Sn1Sn.()(6)在数列an中,对于任意正整数m,n,amnamn1,若a11,则a22.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是()A1,12,13,14,B1,2,3,4,C1,12,14,18,D1,2,3,n【解析】根据定义,属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号),属于递增数列的是选项C、D,故同时满足要求的是选项C.【答案】C 2数列3,

3、7,11,15,的通项公式可能是()Aan4n7 Ban(1)n(4n1)Can(1)n(4n1)Dan(1)n1(4n1)【答案】C 3设数列an的前n项和Snn2,则a8的值为()A15B16 C49D64【解析】Snn2,a1S11.当n2时,anSnSn1n2(n1)22n1.当n1时符合上式,an2n1,a828115.【答案】A 4(教材改编)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式an_【答案】5n4 5已知数列an的前n项和Snn21,则an_【解析】当 n1 时,a1S12,当 n2 时,anSnSn1n21(n1)212n1,故 an2,n1,2n1,n

4、2.【答案】2,n1,2n1,n2题型一 由数列的前几项求数列的通项公式【例 1】(1)(2016深圳模拟)数列 0,23,45,67,的一个通项公式为()Aann1n1(nN*)Ban n12n1(nN*)Can2(n1)2n1(nN*)Dan 2n2n1(nN*)(2)数列an的前 4 项是32,1,710,917,则这个数列的一个通项公式是 an_【解析】(1)注意到分子 0,2,4,6 都是偶数,对照选项排除即可(2)数列an的前 4 项可变形为211121,221221,231321,241421,故 an2n1n21.【答案】(1)C(2)2n1n21【方法规律】根据所给数列的前几

5、项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想 跟踪训练 1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式3,5,7,9,;12,34,78,1516,3132,;1,32,13,34,15,36,;3,33,333,3 333,.【解析】各项减去 1 后为正偶数,所以 an2n1.每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 21,22,23,24,所以 an2n12n.奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(1)n;各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,

6、;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 21,偶数项为 21,所以 an(1)n2(1)nn.也可写为 an1n,n为正奇数,3n,n为正偶数.将数列各项改写为93,993,9993,9 9993,分母都是3,而分子分别是 101,1021,1031,1041,所以 an13(10n1)题型二 由数列的前n项和求数列的通项公式【例2】设数列an的前n项和为Sn,数列Sn的前n项和为Tn,满足Tn2Snn2,nN*.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式【解析】(1)令n1时,T12S11,T1S1a1,a12a11,a11.(2)n2时,Tn12Sn1(

7、n1)2,则SnTnTn12Snn22Sn1(n1)2 2(SnSn1)2n12an2n1.因为当n1时,a1S11也满足上式,所以Sn2an2n1(n1),当n2时,Sn12an12(n1)1,两式相减得an2an2an12,所以an2an12(n2),所以an22(an12),因为a1230,所以数列an2是以3为首项,公比为2的等比数列 所以an232n1,所以an32n12,当n1时也成立,所以an32n12.【方法规律】数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 anS1,n1,SnSn1,n2.当 n1 时,a1 若适合 SnSn1,则 n1 的情况可并入 n2 时的通项 a

8、n;当 n1 时,a1 若不适合 SnSn1,则用分段函数的形式表示 跟踪训练2(1)(2016辽宁省实验中学分校月考)设数列an的前n项和为Sn,且Sn2(an1),则an()A2nB2n1 C2nD2n1(2)(2016陕西渭南蒲城尧山测试)已知数列an的前n项和为Snn23n1,则数列an的通项公式an_【解析】(1)当n1时,a1S12(a11),可得a12,当n2时,anSnSn12an2an1,an2an1,数列an为等比数列,公比为2,首项为2,所以an2n,故选C.(2)Snn23n1,当 n1 时,a11;当 n2 时,anSnSn1n23n1(n1)23(n1)12n4,则

9、数列an的通项公式 an1,n1,2n4,n2.【答案】(1)C(2)1,n1,2n4,n2.题型三 由数列的递推关系求通项公式【例3】(1)(2016大连双基测试)数列an满足:a13a25a3(2n1)an(n1)3n13(nN*),则数列an的通项公式an_(2)数列an中,a11,an13an2,则它的一个通项公式为an_【解析】(1)a13a25a3(2n3)an1(2n1)an(n1)3n13,把n换成n1得,a13a25a3(2n3)an1(n2)3n3,两式相减得an3n.(2)方法一(累乘法)an13an2,即an113(an1),即an11an1 3,所以a21a113,a

10、31a213,a41a313,an11an1 3.将这些等式两边分别相乘得an11a11 3n.因为 a11,所以an1111 3n,即 an123n1(n1),所以 an23n11(n2),又a11也满足上式,故数列an的一个通项公式为an23n11.方法二(迭代法)an13an2,即an113(an1)32(an11)33(an21)3n(a11)23n(n1),所以an23n11(n2),又a11也满足上式,故数列an的一个通项公式为an23n11.【答案】(1)3n(2)23n11【方法规律】已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构造法求解 当出现 anan1m 时,构

11、造等差数列;当出现 anxan1y 时,构造等比数列;当出现 anan1f(n)时,用累加法求解;当出现 anan1f(n)时,用累乘法求解 跟踪训练3(1)(2016河北衡水四模)已知数列an满足a11,且 an13an113n(n2,且 nN*),则数列an的通项公式为()Aan 3nn2Bann23nCann2 Dan(n2)3n(2)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn2an1(nN*),则a5等于()A16B16 C31D32【解析】(1)an13an113n(n2,且 nN*)an13n an113n11,即 bn an13n,则数列bn为首项 b1a1133a13,公差为 1的等

12、差数列,所以 bn3(n1)1n2,所以 ann23n.(2)当n1时,S12a11,a11.当n2时,Sn12an11,an2an2an1,an2an1.an是等比数列且a11,q2,故a5a1q42416.【答案】(1)B(2)B【答案】B 题型四 数列的性质命题点 1 数列的单调性【例 4】已知 ann1n1,那么数列an是()A递减数列 B递增数列C常数列D摆动数列【解析】an1 2n1,将 an 看作关于 n 的函数,nN*,易知an是递增数列 命题点2 数列的周期性 【例5】(2016石家庄二模)在数列an中,已知a12,a27,an2等于anan1(nN*)的个位数,则a2 01

13、7()A8B6 C4D2【解析】由题意得:a34,a48,a52,a66,a72,a82,a94,a108;所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2 017a33661a32.【答案】D 命题点 3 数列的最值【例 6】(2016甘肃临夏中学上学期期中)已知an是公差为d 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn,S42S24,数列bn中,bn1anan.(1)求公差 d 的值;(2)若 a152,求数列bn中的最大项和最小项的值;(3)若对任意的 nN*,都有 bnb8 成立,求 a1 的取值范围【解析】(1)S42S24,4a1342 d2(2a1d)4,解得 d1.(2)a1

14、52,数列an的通项公式为 ana1(n1)n72,bn1 1an1 1n72.函数 f(x)1 1x72在,72 和72,上分别是单调减函数,b3b2b11,当 n4 时,1bnb4,数列bn中的最大项是 b43,最小项是 b31.(3)由 bn1 1an,得 bn11na11.又函数 f(x)11xa11在(,1a1)和(1a1,)上分别是单调减函数,且 x1a1 时,y1;当 x1a1 时,y1.对任意的 nN*,都有 bnb8,71a18,7a16,a1 的取值范围是(7,6)【方法规律】(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 用作差比较法,根据 an1an 的符号判断数列an是递

15、增数列、递减数列或是常数列 用作商比较法,根据an1an(an0 或 an0)与 1 的大小关系进行判断 结合相应函数的图象直观判断(2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解 跟踪训练 4(1)(2016哈尔滨模拟)数列an满足 an 12an,0an12,2an1,12an1,a135,则数列的第 2 017 项为_(2)(2016安徽庐江六校第四次联考)已知an是递增数列,对于任意的正整数 n 均有 ann2 n 恒成立,则实数 的取值范围是()A2,)B(3,)CRD【解析】(

16、1)由已知可得,a2235115,a321525,a422545,a5245135,an为周期数列且 T4,a2 017a135.(2)an是递增数列,对于任意的正整数n均有ann2n恒成立,an1an,(n1)2(n1)n2n,化为(2n1),3,实数的取值范围是(3,)故选B.【答案】(1)25(2)B高频小考点5 数列中的新定义问题【典例】(1)(2016洛阳模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状,称数列5,9,14,20,为“梯形数”根据图形的构成,此数列的第2 016项与5的差,即a2 0165等于()A2 0182 014B2 0202 015 C1 0102 014D1 0112 0

17、15(2)对于数列xn,若对任意 nN*,都有xnxn22xn1 成立,则称数列xn为“减差数列”设 bn2ttn12n1,若数列 b3,b4,b5,是“减差数列”,则实数 t 的取值范围是()A(1,)B(,1C(1,)D(,1【思维点拨】(1)观 察 图 形,易 得 anan 1n2(n2)可利用累加法求解(2)由“减差数列”的定义,可得关于bn的不等式,把bn的通项公式代入,化归为不等式恒成立问题求解【解析】(1)因为 anan1n2(n2),a15,所以 a2 016(a2 016a2 015)(a2 015a2 014)(a2a1)a12 0182 01745(2 0184)2 01

18、5251 0112 0155,所以 a2 01651 0112 015,故选 D.(2)由数列 b3,b4,b5,是“减差数列”,得bnbn22bn1(n3),【答案】(1)D(2)C 即 ttn12n tt(n2)12n22tt(n1)12n,即tn12n t(n2)12n2t(n1)12n,化简得 t(n2)1.当 n3 时,若 t(n2)1 恒成立,则 t 1n2恒成立,又当 n3 时,1n2的最大值为 1,则 t 的取值范围是(1,)【温馨提醒】解决数列的新定义问题要做到:(1)准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概

19、念或定义相混淆(2)方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,从而找到恰当的解决方法.方法与技巧 1求数列通项或指定项通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号);已知数列中的递推关系,一般只要求写出数列的前几项,若求通项可用归纳、猜想和转化的方法 2强调 an 与 Sn 的关系:anS1 (n1),SnSn1(n2).3已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但试题难度较难把握一般有两种常见思路:(1)算出前几项,再归纳、猜想;(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式4数列的性质可利用函数思想进行研究失误与防范 1数列anf(n)和函数yf(x)定义域不同,其单调性也有区别:yf(x)是增函数是anf(n)是递增数列的充分不必要条件 2数列的通项公式可能不存在,也可能有多个 3由anSnSn1求得的an是从n2开始的,要对n1时的情况进行验证.

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