1、6.1 数列的概念与简单表示法 考纲要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 1数列的有关概念(1)数列的定义 按照_排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_ 一定顺序项(2)数列的分类(3)数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是_、_和_ 2数列的通项公式(1)数列的通项公式 如果数列an的第n项与_之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 列表法图象法解析法序号n【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达()(2)根据数列
2、的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)1，1，1，1，不能构成一个数列()(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(5)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有an1Sn1Sn.()(6)在数列an中，对于任意正整数m，n，amnamn1，若a11，则a22.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A1，12，13，14，B1，2，3，4，C1，12，14，18，D1，2，3，n【解析】根据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C.【答案】C 2数列3，
3、7，11，15，的通项公式可能是()Aan4n7 Ban(1)n(4n1)Can(1)n(4n1)Dan(1)n1(4n1)【答案】C 3设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15B16 C49D64【解析】Snn2，a1S11.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.当n1时符合上式，an2n1，a828115.【答案】A 4(教材改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_【答案】5n4 5已知数列an的前n项和Snn21，则an_【解析】当 n1 时，a1S12，当 n2 时，anSnSn1n21(n1)212n1，故 an2，n1，2n1，n
4、2.【答案】2，n1，2n1，n2题型一 由数列的前几项求数列的通项公式【例 1】(1)(2016深圳模拟)数列 0，23，45，67，的一个通项公式为()Aann1n1(nN*)Ban n12n1(nN*)Can2（n1）2n1(nN*)Dan 2n2n1(nN*)(2)数列an的前 4 项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是 an_【解析】(1)注意到分子 0，2，4，6 都是偶数，对照选项排除即可(2)数列an的前 4 项可变形为211121，221221，231321，241421，故 an2n1n21.【答案】(1)C(2)2n1n21【方法规律】根据所给数列的前几
5、项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想 跟踪训练 1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式3，5，7，9，；12，34，78，1516，3132，；1，32，13，34，15，36，；3，33，333，3 333，.【解析】各项减去 1 后为正偶数，所以 an2n1.每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21，22，23，24，所以 an2n12n.奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列 1，2，3，4，
6、；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 21，偶数项为 21，所以 an(1)n2（1）nn.也可写为 an1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，分母都是3，而分子分别是 101，1021，1031，1041，所以 an13(10n1)题型二 由数列的前n项和求数列的通项公式【例2】设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式【解析】(1)令n1时，T12S11，T1S1a1，a12a11，a11.(2)n2时，Tn12Sn1(
7、n1)2，则SnTnTn12Snn22Sn1(n1)2 2(SnSn1)2n12an2n1.因为当n1时，a1S11也满足上式，所以Sn2an2n1(n1)，当n2时，Sn12an12(n1)1，两式相减得an2an2an12，所以an2an12(n2)，所以an22(an12)，因为a1230，所以数列an2是以3为首项，公比为2的等比数列 所以an232n1，所以an32n12，当n1时也成立，所以an32n12.【方法规律】数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 anS1，n1，SnSn1，n2.当 n1 时，a1 若适合 SnSn1，则 n1 的情况可并入 n2 时的通项 a
8、n；当 n1 时，a1 若不适合 SnSn1，则用分段函数的形式表示 跟踪训练2(1)(2016辽宁省实验中学分校月考)设数列an的前n项和为Sn，且Sn2(an1)，则an()A2nB2n1 C2nD2n1(2)(2016陕西渭南蒲城尧山测试)已知数列an的前n项和为Snn23n1，则数列an的通项公式an_【解析】(1)当n1时，a1S12(a11)，可得a12，当n2时，anSnSn12an2an1，an2an1，数列an为等比数列，公比为2，首项为2，所以an2n，故选C.(2)Snn23n1，当 n1 时，a11；当 n2 时，anSnSn1n23n1(n1)23(n1)12n4，则
9、数列an的通项公式 an1，n1，2n4，n2.【答案】(1)C(2)1，n1，2n4，n2.题型三 由数列的递推关系求通项公式【例3】(1)(2016大连双基测试)数列an满足：a13a25a3(2n1)an(n1)3n13(nN*)，则数列an的通项公式an_(2)数列an中，a11，an13an2，则它的一个通项公式为an_【解析】(1)a13a25a3(2n3)an1(2n1)an(n1)3n13，把n换成n1得，a13a25a3(2n3)an1(n2)3n3，两式相减得an3n.(2)方法一(累乘法)an13an2，即an113(an1)，即an11an1 3，所以a21a113，a
10、31a213，a41a313，an11an1 3.将这些等式两边分别相乘得an11a11 3n.因为 a11，所以an1111 3n，即 an123n1(n1)，所以 an23n11(n2)，又a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an23n11.方法二(迭代法)an13an2，即an113(an1)32(an11)33(an21)3n(a11)23n(n1)，所以an23n11(n2)，又a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an23n11.【答案】(1)3n(2)23n11【方法规律】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解 当出现 anan1m 时，构
11、造等差数列；当出现 anxan1y 时，构造等比数列；当出现 anan1f(n)时，用累加法求解；当出现 anan1f(n)时，用累乘法求解 跟踪训练3(1)(2016河北衡水四模)已知数列an满足a11，且 an13an113n(n2，且 nN*)，则数列an的通项公式为()Aan 3nn2Bann23nCann2 Dan(n2)3n(2)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1(nN*)，则a5等于()A16B16 C31D32【解析】(1)an13an113n(n2，且 nN*)an13n an113n11，即 bn an13n，则数列bn为首项 b1a1133a13，公差为 1的等
12、差数列，所以 bn3(n1)1n2，所以 ann23n.(2)当n1时，S12a11，a11.当n2时，Sn12an11，an2an2an1，an2an1.an是等比数列且a11，q2，故a5a1q42416.【答案】(1)B(2)B【答案】B 题型四 数列的性质命题点 1 数列的单调性【例 4】已知 ann1n1，那么数列an是()A递减数列 B递增数列C常数列D摆动数列【解析】an1 2n1，将 an 看作关于 n 的函数，nN*，易知an是递增数列 命题点2 数列的周期性 【例5】(2016石家庄二模)在数列an中，已知a12，a27，an2等于anan1(nN*)的个位数，则a2 01
13、7()A8B6 C4D2【解析】由题意得：a34，a48，a52，a66，a72，a82，a94，a108；所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 017a33661a32.【答案】D 命题点 3 数列的最值【例 6】(2016甘肃临夏中学上学期期中)已知an是公差为d 的等差数列，它的前 n 项和为 Sn，S42S24，数列bn中，bn1anan.(1)求公差 d 的值；(2)若 a152，求数列bn中的最大项和最小项的值；(3)若对任意的 nN*，都有 bnb8 成立，求 a1 的取值范围【解析】(1)S42S24，4a1342 d2(2a1d)4，解得 d1.(2)a1
14、52，数列an的通项公式为 ana1(n1)n72，bn1 1an1 1n72.函数 f(x)1 1x72在，72 和72，上分别是单调减函数，b3b2b11，当 n4 时，1bnb4，数列bn中的最大项是 b43，最小项是 b31.(3)由 bn1 1an，得 bn11na11.又函数 f(x)11xa11在(，1a1)和(1a1，)上分别是单调减函数，且 x1a1 时，y1；当 x1a1 时，y1.对任意的 nN*，都有 bnb8，71a18，7a16，a1 的取值范围是(7，6)【方法规律】(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 用作差比较法，根据 an1an 的符号判断数列an是递
15、增数列、递减数列或是常数列 用作商比较法，根据an1an(an0 或 an0)与 1 的大小关系进行判断 结合相应函数的图象直观判断(2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解 跟踪训练 4(1)(2016哈尔滨模拟)数列an满足 an 12an，0an12，2an1，12an1，a135，则数列的第 2 017 项为_(2)(2016安徽庐江六校第四次联考)已知an是递增数列，对于任意的正整数 n 均有 ann2 n 恒成立，则实数 的取值范围是()A2，)B(3，)CRD【解析】(
16、1)由已知可得，a2235115，a321525，a422545，a5245135，an为周期数列且 T4，a2 017a135.(2)an是递增数列，对于任意的正整数n均有ann2n恒成立，an1an，(n1)2(n1)n2n，化为(2n1)，3，实数的取值范围是(3，)故选B.【答案】(1)25(2)B高频小考点5 数列中的新定义问题【典例】(1)(2016洛阳模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，为“梯形数”根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 0165等于()A2 0182 014B2 0202 015 C1 0102 014D1 0112 0
17、15(2)对于数列xn，若对任意 nN*，都有xnxn22xn1 成立，则称数列xn为“减差数列”设 bn2ttn12n1，若数列 b3，b4，b5，是“减差数列”，则实数 t 的取值范围是()A(1，)B(，1C(1，)D(，1【思维点拨】(1)观 察 图 形，易 得 anan 1n2(n2)可利用累加法求解(2)由“减差数列”的定义，可得关于bn的不等式，把bn的通项公式代入，化归为不等式恒成立问题求解【解析】(1)因为 anan1n2(n2)，a15，所以 a2 016(a2 016a2 015)(a2 015a2 014)(a2a1)a12 0182 01745（2 0184）2 01
18、5251 0112 0155，所以 a2 01651 0112 015，故选 D.(2)由数列 b3，b4，b5，是“减差数列”，得bnbn22bn1(n3)，【答案】(1)D(2)C 即 ttn12n tt（n2）12n22tt（n1）12n，即tn12n t（n2）12n2t（n1）12n，化简得 t(n2)1.当 n3 时，若 t(n2)1 恒成立，则 t 1n2恒成立，又当 n3 时，1n2的最大值为 1，则 t 的取值范围是(1，)【温馨提醒】解决数列的新定义问题要做到：(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概
19、念或定义相混淆(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法.方法与技巧 1求数列通项或指定项通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法 2强调 an 与 Sn 的关系：anS1 （n1），SnSn1（n2）.3已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式4数列的性质可利用函数思想进行研究失误与防范 1数列anf(n)和函数yf(x)定义域不同，其单调性也有区别：yf(x)是增函数是anf(n)是递增数列的充分不必要条件 2数列的通项公式可能不存在，也可能有多个 3由anSnSn1求得的an是从n2开始的，要对n1时的情况进行验证.