1、第十章 平面解析几何 第六节 双曲线最新考纲考情索引核心素养1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)2.了解双曲线的简单应用3.理解数形结合的思想.2018全国卷，T6 2018全国卷，T102017全国卷，T5 2017全国卷，T52017全国卷，T141.直观想象2.数学运算1双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的_为非零常数2a(2a2c)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的_(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.当_时，M点的轨迹是双
2、曲线；当_时，M点的轨迹是两条射线；当_时，M点不存在绝对值焦点2a|F1F2|2a|F1F2|2a|F1F2|2双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形范围_ _对称性对称轴：_；对称中心：_性质顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)xa或xa，yR xR，ya或ya坐标轴原点渐近线_离心率eca，e_，其中c_性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|_，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|_；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2_(ca0，cb
3、0)ybaxyabx(1，)a2b22a2ba2b21三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2By21(AB0)(2)当已知双曲线的渐近线方程bxay0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2a2y2(0)(3)与双曲线x2a2y2b21有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2y2b2(0)2已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程，只需将双曲线的标准方程中的“1”改为“0”1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程 x2m y2n
4、1(nm0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程 x2m2 y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人A选修11P53T1改编)若双曲线 x2a2 y2b2 1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5 B5C.2D.2解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x2a2y2b20，即bxay0，所以2abca2b2b.又a2b2c2，所以5a2c2.所以e2c2a25，所以e 5.答案：A(
5、2)(人A选修11P54A组T6改编)经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_解析：设双曲线方程为x2y2(0)，把点A(3，1)的坐标代入，得8，故所求方程为x28 y281.答案：x28 y2813典题体验(1)(2018全国卷)双曲线x2a2 y2b21(a0，b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为()Ay 2xBy 3xCy 22 xDy 32 x(2)(2019华南师范大学附中检测)设k1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是()A长轴在x轴上的椭圆B长轴在y轴上的椭圆C实轴在x轴上的双曲线D实轴在y轴上的双曲线(3)(2017全国卷)双曲线 x
6、2a2 y29 1(a0)的一条渐近线方程为y35x，则a_解析：(1)双曲线x2a2y2b21的渐近线方程为bxay0.又因为离心率ca a2b2a 3，所以a2b23a2.所以b 2a(a0，b0)所以渐近线方程为 2axay0，即y 2x.故选A.(2)因为k1，所以1k0，所以方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是实轴在y轴上的双曲线，故选D.(3)因为双曲线的标准方程为x2a2y291(a0)，所以双曲线的渐近线方程为y3ax.又双曲线的一条渐近线方程为y35x，所以a5.答案：(1)A(2)D(3)5考点1 双曲线的定义(讲练互动)【例1】已知双曲线x2 y224 1的两个焦点为
7、F1，F2，P为双曲线右支上一点若|PF1|43|PF2|，则F1PF2的面积为()A48 B24 C12 D6解析：由双曲线的定义可得|PF1|PF2|13|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此SPF1F212|PF1|PF2|24.答案：B【例2】已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|
8、，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x2y281(x1)答案：x2y281(x1)1应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用2在焦点三角形中，注意定义、余弦
9、定理的活用，常将|PF1|PF2|2a平方，建立与|PF1|PF2|间的联系变式训练1已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cos AF2F1()A.14B.13C.24D.23解析：由e ca 2得c2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2a.又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，所以cos AF2F1（4a）2（2a）2（4a）224a2a14.答案：A2(2019唐山调研)已知双曲线x23 y21的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为(2，3)，则|PQ|PF1|的最小值为_解析：由x23
10、 y21，得a23，b21，所以c2a2b24，则c2，则F2(2，0)，因为|PF1|PF2|2 3，所以|PF1|2 3|PF2|，则|PQ|PF1|PQ|PF2|2 3，当Q，P，F2三点共线时，|PQ|PF2|最小，等于|QF2|，因为Q(2，3)，F2(2，0)，所以|QF2|（22）2（30）25，所以|PQ|PF1|的最小值为52 3.答案：52 3考点2 双曲线的标准方程(讲练互动)【例1】一题多解(2017全国卷)已知双曲线C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的一条渐近线方程为y52x，且与椭圆x212y231有公共焦点，则C的方程为()A.x28 y2101 B.x24
11、 y251C.x25 y241 D.x24 y231解析：法一 由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x24 y25 k(k0)，即x24k y25k1，因为双曲线与椭圆x212 y23 1有公共焦点，所以4k5k123，解得k1，故双曲线C的方程为x24 y251.故选B.法二 因为椭圆x212y231的焦点为(3，0)，双曲线与椭圆x212y231有公共焦点，所以a2b29，因为双曲线的一条渐近线为y 52 x，所以ba 52，联立可解得a24，b25.所以双曲线C的方程为 x24y251.答案：B【例2】(2018天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂
12、直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.x23 y291 B.x29 y231C.x24 y2121 D.x212y241解析：设双曲线的右焦点为F(c，0)将xc代入x2a2y2b21.得c2a2y2b21，所以yb2a.不妨设A(c，b2a)，B(c，b2a)双曲线的一条渐近线方程为ybax，即bxay0，则d1bcab2ab2（a）2|bcb2|cbc(cb)，d2bcab2ab2（a）2|bcb2|cbc(cb)，所以d1d2bc2c2b6，所以b3.因为ca2，c2a2b2，所以a23，所以双曲线
13、的方程为x23 y291.故选A.答案：A求双曲线标准方程的主要方法1定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程2待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论变式训练1(2019肇庆模拟)已知双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点坐标为(4，0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为()A.x28 y281B.x216y2161C.y28x28 1D.x28 y281或y28x28 1解析：由双曲线C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的一个焦点坐标为(4，0)，可得c4，即有a2b2c216，由
14、双曲线的两条渐近线互相垂直，即直线ybax和直线ybax垂直，可得ab，则ab2 2，则该双曲线的方程为x28 y281.故选A.答案：A2(2019衡水联考)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点F(c，0)作其渐近线y 32 x的垂线，垂足为M，若SOMF43(O为坐标原点)，则双曲线的标准方程为()A.x24 y231 B.x28 y261C.x216y2121 D.x232y2241解析：由题意易得ba 32，12ab4 3，解得a4，b2 3，所以双曲线的标准方程为x216y2121，故选C.答案：C考点3 双曲线的几何性质(多维探究)角度 双曲线的离心率问题【例1】(20
15、17全国卷)若a1，则双曲线 x2a2 y21的离心率的取值范围是()A(2，)B(2，2)C(1，2)D(1，2)解析：由题意知eca1 1a2，因为a1，所以e 2，又因为e1，所以1e 2.答案：C角度 双曲线的渐近线问题【例2】(2018全国卷)已知双曲线C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的离心率为2，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A.2B2 C.3 22D2 2解析：由题意，得eca 2，c2a2b2，得a2b2.又因为a0，b0，所以ab，渐近线方程为xy0，点(4，0)到渐近线的距离为 422 2.故选D.答案：D角度 双曲线性质的综合应用【例3】一题多解(2017
16、全国卷)已知F是双曲线C：x2 y23 1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()A.13 B.12 C.23 D.32解析：法一 易知F(2，0)，不妨取P点在x轴上方，如图因为PFx轴，所以P(2，3)，|PF|3，又A(1，3)，所以|AP|1，APPF，所以SADF123132.故选D.法二 易知F(2，0)，由于PFx轴，可设P点坐标为P(2，y0)，由点P在双曲线C：x2y231上可得y209，解得y03，于是|PF|y0|3.由于APF的边PF上的高为211，所以SAPF123132.故选D.答案：D与双曲线几何性质有关问题的解题策略
17、1求双曲线的离心率(或范围)依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得2求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程3求双曲线的方程依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程4求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长依题设条件及a，b，c之间的关系求解变式训练1(2019长沙模拟二)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与圆(x2 2)2y283相切，则该双曲线的离心率为()A.62B.32C.3 D3解析：由双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线ybax，即bxay0与
18、圆相切得|2 2b|b2a22 2bc2 23，即c 3b，则c23b23(c2a2)，化简得2c 3a，则该双曲线的离心率为eca 32 62，故选A.答案：A2已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则 2e1e22的最小值为()A6 B3 C.6 D.3解析：设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a，半焦距为c，依题意知|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2a，2a2a4c，所以 2e1e22 2ac c2a2a4cc c2a2ac c2a4246，当且仅当c2a时取“”故选A.答案：A3双曲线C：y2a2x2b21(a0，b0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于_解析：因为eca54，所以c54a，设双曲线的一条渐近线方程为yabx，即axby0，焦点为(0，c)，所以bca2b2 b3，所以ac2b2 2516a29，所以a216，即a4，故2a8.答案：8
