1、第七章立体几何第六节 空间向量及其运算(理)基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.备考知考情1.以简单几何体为载体，进行线线、线面、面面关系的判断和证明，一般不单独命题2.试题多以解答题形式出现，考查学生的运算能力及分析问题、解决问题的能力.理教材 夯基础 厚积薄发J 基础回扣自主学习知识梳理知识点一空间向量的有关概念及线性运算1.空间向量：在空间中，具有的量叫做空间向量
2、，其大小叫做向量的2相等向量：方向的向量3共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，那么这些向量叫做，a 平行于 b记作 ab.4共面向量：平行于同一的向量叫做共面向量.大小和方向长度或模相同且模相等平行重合共线向量或平行向量平面知识点二空间向量中的有关定理1.共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab存在 R，使 a.2共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p.3空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使得 p.bxaybxaybz
3、c知识点三两个向量的数量积1.两个向量的数量积(1)非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.2空间向量的坐标表示及其应用设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|a21a22a23夹角a，b(a0，b0)cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23对点自测知识点一空间向量的概念及线性运算1.判
4、断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)对于非零向量 b，由 abbc，则 ac.()(4)两 向 量 夹 角 的 范 围 与 两 异 面 直 线 所 成 角 的 范 围 相同()(5)若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有ABBCCD DA0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心，若AEAA1 xAByAD，则 x，y 的值分别为()Ax1，y1 Bx1，y12Cx12，y12Dx12，y1解析 如图，AEA
5、A1 A1EAA1 12A1C1 AA1 12(ABAD)答案 C知识点二空间向量中的有关定理3.有下列 4 个命题：若 pxayb，则 p 与 a，b 共面；若 p 与 a，b 共面，则 pxayb；若MP xMA yMB，则 P，M，A，B 共面；若 P，M，A，B 共面，则MP xMA yMB.其中真命题的个数是()A1 B2C3 D4解析 正确中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 pxayb 就不成立正确中若 M，A，B 共线，点 P 不在此直线上，则MP xMA yMB 不正确答案 B4在四面体 OABC 中，OA a，OB b，OC c，D 为 BC的中点，E 为 AD 的中
6、点，则OE _(用 a，b，c 表示)解析 如图，OE 12OA 12OD 12OA 14OB 14OC12a14b14c.答案 12a14b14c知识点三两个向量的数量积5.已知空间三点 A(1,1,1)，B(1,0,4)，C(2，2,3)，则AB与CA的夹角 的大小是_解析 由题意知AB(2，1,3)，CA(1,3，2)，故 cos ABCA|AB|CA|714 12.因为 0，所以 23.答案 236已知 ABCDA1B1C1D1 为正方体，(A1A A1D1 A1B1)23A1B1 2；A1C(A1B1 A1A)0；向量AD1 与向量A1B 的夹角是60；正方体 ABCDA1B1C1D
7、1 的体积为|ABAA1 AD|.其中正确命题的序号是_解析 设正方体的棱长为 1，中(A1A A1D1 A1B1)23A1B123，故正确；中A1B1 A1A AB1，由于 AB1A1C，故正确；中 A1B 与 AD1 两异面直线所成角为 60，但AD1 与A1B 的夹角为 120，故不正确；中|ABAA1 AD|0.故也不正确答案 研考点 知规律 通法悟道R 热点命题深度剖析问题探究问题 1 共面定理MQ xMN yMP 的前提条件是什么？向量MN，MP 不共线问题 2 利用空间向量解决长度、垂直、夹角问题的一般思路是什么？用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点
8、间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化问题 3 如何巧妙建立空间直角坐标系？(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上高频考点考点一空间向量的线性运算【例 1】如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，G 为A1BD 的重心，设ABa，AD b，AA1 c，试用 a，b，c 表示AC1，AG.听 课 记 录 AC1 ABBC CC1 ABAD AA1 abc.AG AA1 A1G AA1 13(A1
9、D A1B)AA1 13(AD AA1)13(ABAA1)13AA1 13AD 13AB13a13b13c.【规律方法】通过以上表示可以看出AC13AG，即证明：A，G，C1 三点共线G 为 AC1 的三等分点解决几何问题的难点是作辅助线，而利用向量解决几何问题恰好回避了这一难点问题，把证明转化为运算变式思考 1 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点(1)化简：A1O 12AB12AD；(2)设 E 是棱 DD1 上的点，且DE 23DD1，若EO xAByAD zAA1，试求 x，y，z 的值解(1)ABAD AC，A1O 12AB12AD A1O 12(ABA
10、D)A1O 12ACA1O AO A1A.(2)EO ED DO 23D1D 12DB23D1D 12(DA AB)23A1A 12DA 12AB 12AB 12AD 23AA1，x12，y12，z23.考点二共线定理与共面定理的应用【例 2】已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB，BC，CD，DA 的中点(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)求证：BD平面 EFGH；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点求证：对空间任一点 O，有OM 14(OA OB OC OD)听 课 记 录(1)在ABD 中，EH 为ABD 的中位线，EH 綊12BD，同理 FG 綊12BD
11、.EH 綊 FG，E，F，G，H 四点共面(2)由(1)知，BDEH，又EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，BD平面 EFGH.(3)对于空间任一点 O，有OA OB 2OE，OC OD 2OG.又 2OE 2OG 2(OE OG)22OM 4OM，OM 14(OA OB OC OD)【规律方法】向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础共(线)面向量基本定理给出了向量共(线)面的充要条件，可用以证明点共(线)面变式思考 2 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是 B1D1 的中点，求证：B1C平面 ODC1.
12、证明 设C1B1 a，C1D1 b，C1C c，易知B1C ca.又 O 是 B1D1 的中点，C1O 12(ab)，OD1 C1D1 C1O b12(ab)12(ba)OD OD1 D1D 12(ba)c.若存在实数 x，y 使得B1C xOD yOC1(x，yR)成立，则 cax12bac y12ab12(xy)a12(xy)bxc.a，b，c 不共线，12xy1，12xy0，x1，解得x1，y1.B1C OD OC1，即B1C，OD，OC1 是共面向量B1C面 ODC1，B1C平面 ODC1.考点三空间向量的数量积【例 3】已知空间三点 A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5
13、)(1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；(2)若|a|3，且 a 分别与AB，AC垂直，求向量 a 的坐标听 课 记 录(1)由题意可得：AB(2，1,3)，AC(1，3,2)，cosAB，AC ABAC|AB|AC|23614 14 71412.sinAB，AC 32.所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S212|AB|AC|sinAB，AC14 32 7 3.(2)设 a(x，y，z)，由题意得x2y2z23，2xy3z0，x3y2z0.解得x1，y1，z1，或x1，y1，z1.a(1,1,1)，或 a(1，1，1)【规律方法】(1)本例将求平行四边形的面积问题转化为求三角形的
14、面积问题，因此用向量的模求出边长，用数量积求出夹角的余弦值，进而求出夹角的正弦值(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题a0，b0，abab0；|a|a2；cosa，bab|a|b|.变式思考 3 已知向量 a(1，3,2)，b(2,1,1)，点 A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线 AB 上，是否存在一点 E，使得OE b？(O 为原点)解(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5，5)，故|2ab|0252525 2.(2)OE OA AEOA tAB(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若OE b，则OE b0，所以2(3t)(1
15、t)(42t)0.解得 t95，因此存在点 E，使得OE b，点 E 的坐标为65，145，25.拓思维 提能力 启智培优T 特色专题感悟提高易错警示系列之(九)对空间向量的坐标表示理解不清致误【典例】已知a，b，c是空间的一个单位正交基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，若向量 p 在基底ab，ab，c下的坐标为32，12，3，则 p 在基底a，b，c下的坐标为_【规范解答】设向量 p 在基底a，b，c下的坐标为(x，y，z)，则由空间向量基本定理知，pxaybzc32(ab)12(ab)3ca2b3c，所以 x1，y2，z3.即 p 在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)【答案】(1,
16、2,3)【误区警示】处把基向量误认为是坐标，误解为 ab32，ab12，c3，其根源是错误理解向量坐标表示的实质导致失误【名师点评】在空间向量的加、减、数乘等线性运算中，往往是选择适当的向量作为基底，用基向量表示出相关向量后进行向量运算，同时再以图形为指导对有关向量进行分解对应训练 已知a，b，c是空间向量的一个基底，ab，ab，c是空间向量的另一个基底，一向量 p 在基底a，b，c下的坐标是(4,2,3)，则向量 p 在基底ab，ab，c下的坐标为()A(4,0,3)B(3,1,3)C(1,2,3)D(2,1,3)解析 因为向量 p 在基底a，b，c下的坐标为(4,2,3)，所以p4a2b3c，设 px(ab)y(ab)zc，整理得 p(xy)a(xy)bzc，则xy4，xy2，z3，解得x3，y1，z3.所以向量 p 在基底ab，ab，c下的坐标为(3,1,3)答案 B
