1、2021年湖北省荆州市中考数学真题及答案一、选择题(本大题共有10个小题，每小题3分，共30分)1在实数1，0，中，无理数是（）A1B0CD2如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（）ABCD3若等式2a2a+3a3成立，则填写单项式可以是（）AaBa2Ca3Da44阅读下列材料，其步中数学依据错误的是（）如图：已知直线bc，ab，求证：ac证明：ab（已知）190（垂直的定义）又bc（已知）12（同位角相等，两直线平行）2190（等量代换）ac（垂直的定义）ABCD5若点P（a+1，22a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（）ABCD6已知：如
2、图，直线y1kx+1与双曲线y2在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（）At2BAOB是等腰直角三角形Ck1D当x1时，y2y17如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则BED的度数是（）A15B22.5C30D458如图，在ABC中，ABAC，A40，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（）AADCDBABPCBPCBPC115DPBCA9如图，在
3、菱形ABCD中，D60，AB2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC当BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）ABC2D10定义新运算“”：对于实数m，n，p，q有m，pq，nmn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：2，34，525+3422若关于x的方程x2+1，x52k，k0有两个实数根，则k的取值范围是（）Ak且k0BkCk且k0Dk二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11已知：a（）1+（）0，b（+）（），则 12有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁随机取出一把钥匙
4、开任意一把锁，一次打开锁的概率是 13如图，AB是O的直径，AC是O的弦，ODAC于D，连接OC，过点D作DFOC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E若AD4，DF，则BE 14如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC8cm，AB16cm当AB，BC转动到BAE60，ABC50时，点C到AE的距离为 cm（结果保留小数点后一位，参考数据：sin700.94，1.73）15若关于x的方程+3的解是正数，则m的取值范围为 16如图，过反比例函数y（k0，x0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过
5、P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1A1A2A2A3A3A4，则S1与S4的数量关系为 三、解答题(本大题共有8个小题，共72分)17（8分）先化简，再求值：（1+），其中a218（8分）已知：a是不等式5（a2）+86（a1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1019（8分）如图，在55的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上请在网格图形中画图：（1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE
6、为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和DEF面积之和，其它顶点也在格点上20（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”阅读可以启智增慧，拓展视野，为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0t12），B（12t24），C（24t36），D（t36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样的样本容量
7、为 ；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中a的值为 ，圆心角的度数为 ；（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议21（8分）小爱同学学习二次函数后，对函数y（|x|1）2进行了探究在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：写出该函数的一条性质： ；方程（|x|1）21的解为： ；若方程（|x|1）2a有四个实数根，则a的取值范围是 （2）延伸思考：将函数y（|x|1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1（|x2|1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2y13
8、时，自变量x的取值范围22（10分）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用23（10分）在矩形ABCD中，AB2，AD4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FEAD于E，将AEF沿EF翻折得到GEF，点G在射线AD上，连接CG（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，FGC90，
9、延长GF交AB于H，连接CH求证：CDGGAH；求tanGHC（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，GCF90，判断GCF与AEF是否全等，并说明理由24（12分）已知：直线yx+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BEt（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；（3）若tanAOCk，经过点A的抛物线yax2+bx+c（a0）顶点为P，且有6a+3b+2c0，POA的面积为，当t时，求抛物线的解析式2021年湖
10、北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共有10个小题，每小题3分，共30分)1在实数1，0，中，无理数是（）A1B0CD【分析】根据有理数（包括整数和分数）和无理数（无限不循环的小数）的定义判断即可【解答】解：选项A、B：1、0是整数，1、0是有理数，选项A、B不符合题意；选项C：是分数，是有理数，选项C不符合题意；选项D：是无限不循环的小数，是无理数，选项D符合题意故选：D2如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（）ABCD【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案【解答】解：从上边看，是一个矩形，矩形的内部有一个与矩形两边相切的圆故选：A3
11、若等式2a2a+3a3成立，则填写单项式可以是（）AaBa2Ca3Da4【分析】直接利用单项式乘单项式以及合并同类项法则计算得出答案【解答】解：等式2a2a+3a3成立，2a3+3a3，填写单项式可以是：3a32a3a3故选：C4阅读下列材料，其步中数学依据错误的是（）如图：已知直线bc，ab，求证：ac证明：ab（已知）190（垂直的定义）又bc（已知）12（同位角相等，两直线平行）2190（等量代换）ac（垂直的定义）ABCD【分析】根据垂直的定义得到190，再根据两直线平行，同位角相等得到290，即可判定ac【解答】证明：ab（已知），190（垂直的定义），又bc（已知），12（两直线平
12、行，同位角相等），2190（等量代换），ac（垂直的定义），步中数学依据错误的是，故选：B5若点P（a+1，22a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（）ABCD【分析】由P点关于x轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项【解答】解：点P（a+1，22a）关于x轴的对称点在第四象限，点P在第一象限，解得：1a1，在数轴上表示为：，故选：C6已知：如图，直线y1kx+1与双曲线y2在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（）At2BAOB是等腰直角三角形Ck1D当x1时，y2y1【分析】利用待定系数法求得t
13、，k，利用直线的解析式求得A，B的坐标，可得线段OA，OB的长度，利用图象可以判断函数值的大小【解答】解：点P（1，t）在双曲线y2上，t2，正确；A选项不符合题意；P（1，2）P（1，2）在直线y1kx+1上，2k+1k1，正确；C选项不符合题意；直线AB的解析式为yx+1令x0，则y1，B（0，1）OB1令y0，则x1，A（1，0）OA1OAOBOAB为等腰直角三角形，正确；B选项不符合题意；由图像可知，当x1时，y1y2D选项不正确，符合题意故选：D7如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的
14、弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则BED的度数是（）A15B22.5C30D45【分析】连接OB，根据直角三角形的边角关系可求出BOC30，进而求出BOD60最后再由圆周角定理得出答案【解答】解：如图，连接OB，A（2，0），D（4，0），矩形OABC，OA2，OD4OB，OBA30，BOD903060，BEDBOD6030，故选：C8如图，在ABC中，ABAC，A40，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（）AADCDBABPCBPCBPC115DPBCA【分析】利用线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定
15、理一一判断即可【解答】解：由作图可知，点D在AC的垂直平分线上，DADC，故选项A正确，AACD40，由作图可知，BP平分ABC，ABPCBP，故选项B正确，ABAC，A40，ABCACB（18040）70，PBCABC35，PCBACBACD30，BPC1803530115，故选项C正确，若PBCA，则A36，显然不符合题意故选：D9如图，在菱形ABCD中，D60，AB2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC当BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）ABC2D【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出ABC是等边三角形，进而通过三角形全
16、等证得AEBC，从而求得AE、PE，利用S阴影S扇形ABCSPABSPBC即可求得【解答】解：连接AC，延长AP，交BC于E，在菱形ABCD中，D60，AB2，ABCD60，ABBC2，ABC是等边三角形，ABAC，在APB和APC中，APBAPC（SSS），PABPAC，AEBC，BECE1，BPC为等腰直角三角形，PEBC1，在RtABE中，AEAB，AP1，S阴影S扇形ABCSPABSPBC（1）1，故选：A10定义新运算“”：对于实数m，n，p，q有m，pq，nmn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：2，34，525+3422若关于x的方程x2+1，x52k，k0有两个实
17、数根，则k的取值范围是（）Ak且k0BkCk且k0Dk【分析】先根据新定理得到k（x2+1）+（52k）x0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k0且（52k）24k20，然后解不等式即可【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（52k）x0，整理得kx2+（52k）x+k0，因为方程有两个实数解，所以k0且（52k）24k20，解得k且k0故选：C二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11已知：a（）1+（）0，b（+）（），则2【分析】先计算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值【解答】解：a（）1+（）02+13，b（+）（）321，2，故答
18、案为：212有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 【分析】随机事件A的概率P（A）事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数【解答】解：由题意得，共有248种等可能情况，其中能打开锁的情况有2种，故一次打开锁的概率为，故答案为：13如图，AB是O的直径，AC是O的弦，ODAC于D，连接OC，过点D作DFOC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E若AD4，DF，则BE【分析】根据垂径定理得到ADDC，根据三角形中位线定理求出OC，根据勾股定理求出OD，证明AODAEB，根据相似三角形的性质列出比
19、例式，计算即可【解答】解：ODAC，AD4，ADDC4，DFOC，DF，OC2DF5，在RtCOD中，OD3，BE是O的切线，ABBE，ODAD，ADOABE，OADEAB，AODAEB，即，解得：BE，故答案为：14如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC8cm，AB16cm当AB，BC转动到BAE60，ABC50时，点C到AE的距离为 6.3cm（结果保留小数点后一位，参考数据：sin700.94，1.73）【分析】通过作垂线构造直角三角形，在在RtABM中，求出BM，在RtBCD中，求出BD，即可求出CN，从而解决问题【解答】解：如图，过点B、
20、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CDBM，垂足为D，在RtABM中，BAE60，AB16，BMsin60AB168（cm），ABM906030，在RtBCD中，DBCABCABM503020，BCD902070，又BC8，BDsin7080.9487.52（cm），CNDMBMBD87.526.3（cm），即点C到AE的距离约为6.3cm，故答案为：6.315若关于x的方程+3的解是正数，则m的取值范围为 m7且m3【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围【解答】解：原方程左右两边同时乘以（x2），得：2x+m（x1）3（x2），解
21、得：x，原方程的解为正数且x2，解得：m7且m3，故答案为：m7且m316如图，过反比例函数y（k0，x0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1A1A2A2A3A3A4，则S1与S4的数量关系为 S14S4【分析】过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，Sk，由OA1A1A2A2A3A3A4，得出S1k，S2k，S3k，S4k，即可得出S14S4【解答】解：过双曲线上任
22、意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA1A1A2A2A3A3A4，S1k，S2k，S3k，S4k，S14S4故答案为：S14S4三、解答题(本大题共有8个小题，共72分)17（8分）先化简，再求值：（1+），其中a2【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（1+），当a2时，原式18（8分）已知：a是不等式5（a2）+86（a1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+10【分析】解不等式5（a2）+86（a1）+7，得a3，所以最小整数解为2，于是将a2代入方程x24x10利用配方法解方程即可【
23、解答】解：解不等式5（a2）+86（a1）+7，得a3，最小整数解为2，将a2代入方程x2+2ax+a+10，得x24x10，配方，得（x2）25直接开平方，得x2解得x12+，x2219（8分）如图，在55的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上请在网格图形中画图：（1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和DEF面积之和，其它顶点也在格点上【分析】（1）根据正方形，等
24、腰直角三角形的定义画出图形即可（2）画出边长为的正方形即可【解答】解：（1）如图，正方形ABCD，DEF即为所求（2）如图，正方形BKFG即为所求20（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”阅读可以启智增慧，拓展视野，为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0t12），B（12t24），C（24t36），D（t36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样的样本容量为 60；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中
25、a的值为 20，圆心角的度数为 144；（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议【分析】（1）根据D组的人数和百分比即可求出样本容量；（2）根据C组所占的百分比即可求出C组的人数；（3）根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角；（4）先算出低于24小时的学生的百分比，在估算出全校低于24小时的学生的人数【解答】解：（1）本次抽样的人数为（人），样本容量为60，故答案为60；（2）C组的人数为40%6024（人），统计图如下：（3）A组所占的百分比为，a的值为20，40%36014
26、4，故答案为20，144；（4）总时间少于24小时的学生的百分比为，全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生有200050%1000（名），建议：读书是人类文明进步的阶梯，建议每天读书至少1小时21（8分）小爱同学学习二次函数后，对函数y（|x|1）2进行了探究在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：写出该函数的一条性质：函数关于y轴对称；方程（|x|1）21的解为：x2或x0或x2；若方程（|x|1）2a有四个实数根，则a的取值范围是 1a0（2）延伸思考：将函数y（|x|1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1（|x2|1）2+3的图象？
27、写出平移过程，并直接写出当2y13时，自变量x的取值范围【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y1（|x2|1）2+3的图象，根据图象即可得到结论【解答】解：（1）观察探究：该函数的一条性质为：函数关于y轴对称；方程（|x|1）21的解为：x2或x0或x2；若方程（|x|1）2a有四个实数根，则a的取值范围是1a0故答案为函数关于y轴对称；x2或x0或x2；1a0（2）将函数y（|x|1）2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1（|x2|1）2+3的图象，当2y13时，自变量x的取值范围是0x422（10分）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜
28、花，在“母亲节”祝福妈妈已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用【分析】（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合需y元，根据题意列方程组求解即可；（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，然后根据函数的性质和百合不少于2支求函数的最小值即可【解答】解：（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合需y元，则根据题意得：，解得：，答：买一支康乃馨需4元，买
29、一支百合需5元；（2）根据题意得：w4x+5（11x）x+55，百合不少于2支，11x2，解得：x9，10，w随x的增大而减小，当x9时，w最小，即买9支康乃馨，买1192支百合费用最少，wmin9+5546（元），答：w与x之间的函数关系式：wx+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元23（10分）在矩形ABCD中，AB2，AD4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FEAD于E，将AEF沿EF翻折得到GEF，点G在射线AD上，连接CG（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，FGC90，延长GF交AB于H，连接CH求证：CDGGAH；求tanGHC（2）如图2，
30、若点A的对称点G落在AD延长线上，GCF90，判断GCF与AEF是否全等，并说明理由【分析】（1）由矩形的性质和同角的余角相等证明CDG与GAH的两组对应角相等，从而证明CDGGAH；由翻折得AGBDACDCG，而tanDAC，可求出DG的长，进而求出GA的长，由tanGHC即GHC的对边与邻边的比恰好等于相似三角形CDG与GAH的一组对应边的比，由此可求出tanGHC的值；（2）GCF与AEF都是直角三角形，由tanDAC可分别求出CG、AG、AE、EF、AF、CF的长，再由直角边的比不相等判断GCF与AEF不全等【解答】（1）如图1，证明：四边形ABCD是矩形，DGAH90，DCG+DGC
31、90，FGC90，AGH+DGC90，DCGAGH，CDGGAH由翻折得EGFEAF，AGHDACDCG，CDAB2，AD4，tanDAC，DGCD21，GA413，CDGGAH，tanGHC（2）不全等，理由如下：AD4，CD2，AC，GCF90，tanDAC，CGAC2，AG5，EAAG，EFEAtanDAC，AF，CF2，GCFAEF90，而CGEA，CFEF，GCF与AEF不全等24（12分）已知：直线yx+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BEt（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断B
32、E与AB的位置关系，并说明理由；（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；（3）若tanAOCk，经过点A的抛物线yax2+bx+c（a0）顶点为P，且有6a+3b+2c0，POA的面积为，当t时，求抛物线的解析式【分析】（1）证明OACOBE（SAS），则OBEOAC45，进而求解；（2）EBH45，则BHEHBEt，即可求解；（3）由POA的面积AOyP1yP，求出yP1c，而抛物线过点A（1，0），故a+b+c0，进而求解【解答】解：（1）直线yx+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，则点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，1），则OBAOAB45，AOC+BOC90，BOC+BOE90，AOCBOE，AOBO，OCOE，OACOBE（SAS），OBEOAC45，ACBEt，EBAEBO+OBAOAC+OBA45+4590，BEAB；（2）过点E作EHOB于点H，EBH45，BHEHBEt，故点E的坐标为（t，1t）；（3）如上图，过点C作CNOA于点N，当t时，即ACt，则CNANt，则ONOANA1CN，故tanAOC1k，POA的面积AOyP1yP，解得yP1c，抛物线过点A（1，0），故a+b+c0，而6a+3b+2c0，联立并解得，故抛物线的表达式为yx2+4x3
