1、云南省云天化中学高中联盟学校2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共12小题）.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用对数的定义域化简集合A，利用一元二次不等式的解法化简集合B,，然后进行交集的运算求解.【详解】，.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及对数函数的定义域求法，一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2. 已知直线过圆的圆心，且与直线平行，则的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由圆的方程可得圆心坐标，再由两直线平行则斜率相等求得直线l的斜率，然后利用直
2、线方程的点斜式得答案.【详解】圆的圆心为，因为与直线平行，所求直线的斜率为2，则直线的方程为，即.故选：D.【点睛】本题考查直线方程的求解问题，涉及到由圆的一般方程确定圆心、直线的平行关系的应用等知识；关键是明确两直线平行则斜率相等.3. 已知，则在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可求，然后利用求解.【详解】，在方向上的投影为:.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.4. 在中，内角，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合
3、，可得，根据题意可求范围，根据正弦函数的图象和性质即可求解的值.【详解】解：，由正弦定理可得：，又，可得，又，.故选：C.【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.5. 函数图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个可能取值是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象，根据所得图象关于轴对称，即可得出的一个取值.【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，根据所得图象关于轴对称，可得，则的一个可能取值为，故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图像变换，考查函数的对称性，属于基础题.
4、6. 等差数列中，则数列前11项和（ ）A. 12B. 60C. 66D. 72【答案】C【解析】【分析】由等差数列的求和公式结合等差数列的性质可得求解.【详解】在等差数列中，所以所以.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列性质以及对称数列的前n项和公式，属于基础题.7. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.【详解】，a，b，c的大小关系为.故选：B.【点睛】本题考查指数式、对数式比大小问题，较简单.一般地，解决这类问题利用指数函数和对数函数的单调性比较，有时也需要和中间桥梁“0”或“1”比较.8. 已知
5、圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析其圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得，计算可得答案.【详解】根据题意，圆，即，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，又由圆截直线所得弦的长度为4，则有，解可得.故选：D.【点睛】本题考查直线和圆相交弦长的计算，属于基础题.9. 已知中，且，点，是边的两个三等分点，则（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由知，根据平面向量的线性运算可推出，故，展开后代入数据进行运算即可.【详解】解：，点是边的三等分点，.同理可得，.
6、故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积运算、模的运算、平面向量基本定理，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基底的选择.10. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由于，所以先由已知条件求出，的值，从而可求出答案【详解】，因为，所以，因为，所以，则故选：C【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇
7、函数，且，所以,因此，因为，所以，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解12. 直线与圆相交于，两点，若，为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取的中点，连接、，由点到直线的距离公式可得，于是推出，而，其中，从而得解.【详解】解：取的中点，连接、，则，点到直线的距离，在中，当，同向时，取得最小值，为；当，反向时，取得最大值，为.的取值范围为.故选：A.【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想
8、、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.二、填空题（共4小题.）13. 设，满足约束条件则最小值为_.【答案】【解析】【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解详解】作出可行域，如图四边形内部（含边界），作直线，向上平移直线，减小， 过点时，取得最小值故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域14. 等比数列的各项均为正数，且，则_.【答案】【解析】【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值，再利用对数的运算性质，求得结果.【详解】解：等比数列an的各项均为正数，且，则，故答案为：.【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力
9、，求解时注意对数运算法则的运用.15. 在中，角，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交于点，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则的面积为，即，.当且仅当即时取等号.所以，a+3c的最小值为8+4.故答案为：8+4.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.16. 已知，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据得到， 将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求，的值，然后利用二倍角公式化简求解.【详解】，两边平方，可得，.故答案为：
10、.【点睛】本题主要考查三角函数的同角基本关系式以及倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 圆内有一点，过点作直线交圆于，两点.（1）当直线的倾斜角为时，求弦的长；（2）当弦被点平分时，写出直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出直线的方程，由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长；（2）当弦被点平分时，求出所在直线当斜率，可得直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案.【详解】（1）化圆为，圆心坐标为，半径.直线的倾斜角为，则斜率
11、为1，又直线过点，则直线方程为，即.圆心到直线的距离，圆的半径为，则弦的长为；（2）当弦被点平分时，.又，直线的斜率为，则直线的方程为，即.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长的求法，考查直线方程的求法，属于基础题.18. 已知函数，数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）直接利用函数的关系式和数列的递推关系式求出数列的通项公式.（1）利用（2）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和.（2）利用裂项相消法求出数列的和.【详解】（1）函数，由于数列满足：，.所以（常数），所以数列是以
12、1为首项，1为公差的等差数列.所以.（2）由（1）得，所以，-得，整理得.（3）所以.【点睛】本题考查了利用递推关系求通项公式，考查了错位相减法和裂项相消法，方法特征比较明显，有一定量的计算，属于中档题.19. 在中，角，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为且满足，.（1）求角的大小；（2）当时，求，的值.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）利用已知条件，结合三角形的面积，通过余弦定理，转化求解的大小即可.（2）利用余弦定理结合，求解即可.【详解】解：（1）由，得：，化简得，又，.（2）由（1）及余弦定理得：，与联立：，解之得：或.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查函数与方程思
13、想、转化与化归思想，考查运算求解能力.20. 已知数列满足：，且，成等差数列；（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】【分析】（1）直接利用等比数列的定义和构造新数列法求出数列的通项公式.（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和.【详解】解：（1）数列满足：，且，成等差数列；所以，整理得，故，所以（常数），所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.所以，整理得.（2）由（1）得：，所以.【点睛】本题考查等差数列性质、等比数列通项公式、分组求和法，考查运算求解能力.21. 已知向量，设函数，且的图象过点和点.（）
14、求的值；（）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.【答案】（I）.（II）函数的单调递增区间为.【解析】试题分析：（）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点和点代入就可得到关于的方程，解方程求其值；（）利用图像平移的方法得到的解析式，利用最高点到点的距离的最小值为1求得角，得，求减区间需令解的范围试题解析：（1）由题意知的过图象过点和，所以即解得（2）由（1）知由题意知设的图象上符合题意的最高点为，由题意知，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）将其代入得，因为，所以，因此由Z得Z，所以函数的单
15、调递增区间为考点：1.三角函数化简与性质；2.图像平移22. 已知圆，直线.（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；（2）设与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；（3）若定点分弦为，求此时直线的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）根据直线过定点，且在圆内证明； （2）当与不重合时，连接，则，可得，设，代入整理可得的轨迹方程；（3）设，由，得，可得，联立直线方程与圆的方程，得到，解得，代入联立消元后的方程求解.【详解】（1）因为直线过定点，又所以圆内，所以对，直线与圆总有两个不同的交点；（2）如图所示，当与不重合时，连接，则，.设，则，化简得：；当与重合时，也满足上式，故弦的中点的轨迹为；（3）设，由，得，化简得又由，消去得（*）.，由解得，代入（*）整理得.直线的方程为或.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及 中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
