1、2015-2016学年北京市临川学校高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集为R，集合A=x|x1，那么集合RA等于( )Ax|x1Bx|x1Cx|x1Dx|x12已知命题p：xR，x2+x10，则p为( )AxR，x2+x10BxR，x2+x10CxR，x2+x10DxR，x2+x103下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是( )Ay=x3By=Cy=cosxDy=2|x|4设a=log23，b=log43，c=sin90，则( )AacbBbcaCcabDcba5如图是某班
2、50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90）90，100），则图中x的值等于( )A0.754B0.048C0.018D0.0126如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z2=( )A34iB5+4iC54iD34i7已知向量+=（2，8），=（8，16），则与夹角的余弦值为( )ABCD8设Sn为等比数列an的前n项和，8a2+a5=0，则等于( )A11B5C8D119若（，）且3cos2=4sin（），则sin2的值为( )ABCD10如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s=55，则在
3、判断框中应填入关于k的判断条件是( )Ak11Bk10Ck9Dk811根据表格中的数据，可以断定函数f（x）=lnx的零点所在的区间是( )x12e35lnx00.6911.101.6131.51.1010.6A（1，2）B（2，e）C（e，3）D（3，5）12已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是( )A（0，+）B（，1）C（1，+）D（0，1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13复数2+i的模等于_14定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f的值为_15已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C
4、的对边，那么a等于_16将全体正整数排成一个三角形数阵；根据以上排列规律，数阵中第n（n3）行从左至右的第3个数是_三、解答题：（70分）17等差数列an足：a2+a4=6，a6=S3，其中Sn为数列an前n项和（）求数列an通项公式；（）若kN*，且ak，a3k，S2k成等比数列，求k值18已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x+a，aR（）求函数f（x）的最小正周期；（）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围19甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78乙 78 82 88 82 95（）用茎叶图表
5、示这两组数据；（）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（）若从甲、乙两人的5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率20设aR，已知函数f（x）=ax33x2（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）若对任意的x1，3，有f（x）+f（x）0恒成立，求实数a的取值范围21已知数列是公差为2的等差数列，且a1=1（）求数列an的通项公式；（）设数列anan+1的前n项和为Tn证明：Tn22已知函数f（x）=（x+a）ex，其中e是自然对数的底数，aR（）求函数f（x）的单调区间；（）当x0，4时，求函数f（x）的最小值2015-2016学年北京市
6、临川学校高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集为R，集合A=x|x1，那么集合RA等于( )Ax|x1Bx|x1Cx|x1Dx|x1【考点】补集及其运算 【专题】集合【分析】根据全集R及A，求出A的补集即可【解答】解：全集为R，集合A=x|x1，RA=x|x1故选：C【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2已知命题p：xR，x2+x10，则p为( )AxR，x2+x10BxR，x2+x10CxR，x2+x10DxR，x2+x10【考点】命题的否定 【专题】简易逻辑【
7、分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题所以，命题p：xR，x2+x10，则p为：xR，x2+x10故选：D【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查3下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是( )Ay=x3By=Cy=cosxDy=2|x|【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用【分析】运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性，结合函数的单调性，即可判断D正确，A，B，C均错【解答】解：选项A，y=x3为奇函数，故错误；选项B，y=为幂函数，定义域为0，+）不关于原点对称，不具奇偶性，故错误；
8、选项C，y=cosx为偶函数，但在区间（0，+）上没有单调性，故错误；选项D，y=2|x|为偶函数，当x0时，解析式可化为y=2x，显然满足在区间（0，+）上单调递增，故正确故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性，属基础题4设a=log23，b=log43，c=sin90，则( )AacbBbcaCcabDcba【考点】对数值大小的比较 【专题】函数的性质及应用【分析】利用对数函数的单调性、sin90=1即可得出【解答】解：b=log43log44=1，c=sin90=1，a=log23log22=1bca故选：B【点评】本题考查了对数函数的单调性、sin90=1，属于基础题5如图是某班
9、50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90）90，100），则图中x的值等于( )A0.754B0.048C0.018D0.012【考点】频率分布直方图 【专题】图表型【分析】根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；【解答】解：由图得300.006+100.01+100.054+10x=1，解得x=0.018故选C【点评】本题主要考查了频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图中各组累积频率和为1是解答的关键6如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z2=( )A34iB
10、5+4iC54iD34i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【专题】数系的扩充和复数【分析】在复平面内，点A对应的复数为z=2+i，再利用复数的运算法则即可得出【解答】解：在复平面内，点A对应的复数为z=2+i，则复数z2=（2+i）2=34i故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题7已知向量+=（2，8），=（8，16），则与夹角的余弦值为( )ABCD【考点】数量积表示两个向量的夹角 【专题】计算题；平面向量及应用【分析】利用向量坐标关系，求出=（3，4），=（5，12），再利用cos=求解即可【解答】解：由向量，得=（3，4），=（5，12），所以|=5
11、，|=13，=63，即与夹角的余弦值cos=故选：B【点评】本题考查向量运算的坐标表示，夹角的计算，属于基础题8设Sn为等比数列an的前n项和，8a2+a5=0，则等于( )A11B5C8D11【考点】等比数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得数列的公比q，代入求和公式化简可得【解答】解：设等比数列an的公比为q，（q0）由题意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0，解得q=2，故=11故选D【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题9若（，）且3cos2=4sin（），则sin2的值为( )ABCD【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数 【专题】
12、三角函数的求值【分析】由条件化简可得 3（cos+sin）=2，平方可得1+sin2=，从而解得sin2的值【解答】解：（，），且3cos2=4sin（），3（cos2sin2）=4（cossin），化简可得：3（cos+sin）=2，平方可得1+sin2=，解得：sin2=，故答案为：C【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题10如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s=55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是( )Ak11Bk10Ck9Dk8【考点】程序框图 【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当s=5
13、5时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出程序运行结果为s=55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是k10【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=2，s=1满足条件，s=3，k=3满足条件，s=6，k=4满足条件，s=10，k=5满足条件，s=15，k=6满足条件，s=21，k=7满足条件，s=28，k=8满足条件，s=36，k=9满足条件，s=45，k=10满足条件，s=55，k=11此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出程序运行结果为s=55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是k10故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，当s=55时退出循环，输出程序运行结果为s=55
14、，得到退出循环的条件是解题的关键，属于基本知识的考查11根据表格中的数据，可以断定函数f（x）=lnx的零点所在的区间是( )x12e35lnx00.6911.101.6131.51.1010.6A（1，2）B（2，e）C（e，3）D（3，5）【考点】函数零点的判定定理 【专题】函数的性质及应用【分析】由所给的表格可得 f（e）=0.10，f（3）=0.10，故有f（e）f（3）0，由此求得函数的零点所在的区间【解答】解：由所给的表格可得 f（e）=11.1=0.10，f（3）=1.11=0.10，f（e）f（3）0，故函数的零点所在的区间为（e，3），故选C【点评】本题主要考查函数的零点的判
15、定定理的应用，属于基础题12已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是( )A（0，+）B（，1）C（1，+）D（0，1【考点】分段函数的应用 【专题】数形结合；函数的性质及应用【分析】画出函数f（x）=的图象，和直线y=k，将关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点通过平移直线，观察即可得到【解答】解：画出函数f（x）=的图象，和直线y=k，关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点观察得出：（1）k1，或k0有且只有1个交点；（2）0k1有且只有2个交点故实数k的取值
16、范围是（0，1故选D【点评】本题考查方程的根的个数，考查数形结合的思想方法，注意转化思想，转化为函数的图象的交点个数问题，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13复数2+i的模等于【考点】复数求模 【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数模的计算公式即可得出【解答】解：z=2+i，|z|=故答案为：【点评】本题考查了复数模的计算公式，属于基础题14定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f的值为1【考点】分段函数的应用；函数的值 【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】通过x0，求出函数的周期，化简所求表达式，利用分段函数求解即可【
17、解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，x0时，f（x）=f（x1）f（x2），f（x+1）=f（x）f（x1），可得f（x+2）=f（x2），f（x+4）=f（x+2）=f（x2）可得f（x+6）=f（x）此时函数的周期为：6f=f（6335+5）=f（5）=f（1）=log2（1+1）=1故答案为：1【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力15已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，那么a等于4【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由已知利用余弦定理即可求值得解【解答】解：，由余弦定理可得：b2=a2+c22a
18、ccosB，即：7=a2+32a，整理解得：a=4或1（舍去）故答案为：4【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题16将全体正整数排成一个三角形数阵；根据以上排列规律，数阵中第n（n3）行从左至右的第3个数是【考点】归纳推理 【专题】规律型；整体思想；分析法；推理和证明【分析】先找到数的分布规律，求出第n行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n+1行从左向右的第3个数即可【解答】解：由排列的规律可得，第n1行结束的时候排了1+2+3+（n1）=个数所以n行从左向右的第3个数+3=故答案为【点评】本题借助于一个三角形数阵考查了数列的应用，归纳推理的一般步骤是：
19、（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）三、解答题：（70分）17等差数列an足：a2+a4=6，a6=S3，其中Sn为数列an前n项和（）求数列an通项公式；（）若kN*，且ak，a3k，S2k成等比数列，求k值【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，则数列an通项公式可求；（）求出S2k，结合ak，a3k，S2k成等比数列列式求k值【解答】解：（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a2+a4=6，a6=S3，得，解得an=1
20、+1（n1）=n；（），由ak，a3k，S2k成等比数列，得9k2=k（2k2+k），解得k=4【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题18已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x+a，aR（）求函数f（x）的最小正周期；（）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 【专题】三角函数的图像与性质【分析】（）首先，利用二倍角公式，化简函数解析式，然后，利用周期公式确定该函数的最小正周期；（）令f（x）=0，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解【解答】解：（）f（x）=sin2x+c
21、os2x+a1=2sin（2x+）+a1，T=，函数f（x）的最小正周期为（）令f（x）=0，即2sin（2x+）+a1=0，则a=12sin（2x+），1sin（2x+）1，112sin（2x+）3，若f（x）有零点，则实数a的取值范围是1，3【点评】本题重点考查了二倍角公式、三角恒等变换公式，三角函数的图象与性质等知识，考查比较综合，属于中档题19甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78乙 78 82 88 82 95（）用茎叶图表示这两组数据；（）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理
22、由（不用计算）；（）若从甲、乙两人的5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率【考点】茎叶图；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式 【专题】概率与统计【分析】（）根据茎叶图的定义，即可用茎叶图表示这两组数据；（）根据茎叶图中数值的分布，进行比较即可得到结论；（）根据古典概型的概率公式，利用列举法即可得到结论【解答】解：（）茎叶图如图：（）由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，乙的数据主要集中在82附近，则乙的方差小于甲的方差，且乙的最高分高于甲的最高分，因此应选派乙参赛更好（）记事件A：甲的成绩比乙高从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下：（86，78）
23、，（86，82），（86，88），（86，82），（86，95），（77，78），（77，82），（77，88），（77，82），（77，95），（92，78），（92，82），（92，88），（92，82），（92，95），（72，78），（72，82），（72，88），（72，82），（72，95），：（78，78），（78，82），（78，88），（78，82），（78，95），共25个事件A包含的基本事件有：（86，78），（86，82），（86，82），（92，78），（92，82），（92，88），（92，82），共7个，甲的成绩比乙高的概率P（A）=【点评】本题主要考查茎叶图的应
24、用，以及古典概型的概率计算，利用列举法是解决本题的关键20设aR，已知函数f（x）=ax33x2（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）若对任意的x1，3，有f（x）+f（x）0恒成立，求实数a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】（I）当a=1时，f（x）=x33x2，求出函数的导数，求解函数的单调区间（II）题目转化为对x1，3恒成立构造函数利用导数求解函数的最小值，即可得到实数a的取值范围【解答】（共13分）解：（I）当a=1时，f（x）=x33x2，则f（x）=3x26x，由f（x）0，得x0，或x2，由f（x
25、）0，得0x2，所以f（x）的单调递增区间为（，0），（2，+），单调递减区间为（0，2）（II）依题意，对x1，3，ax33x2+3ax26x0，这等价于，不等式对x1，3恒成立令，则，所以h（x）在区间1，3上是减函数，所以h（x）的最小值为所以，即实数a的取值范围为（13分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力21已知数列是公差为2的等差数列，且a1=1（）求数列an的通项公式；（）设数列anan+1的前n项和为Tn证明：Tn【考点】数列的求和 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）利用等差数列的通项公式，求出数列an的通项公式；（）利用裂项求出和
26、，求出Tn，由nN+和Tn单调性可求出Tn的取值范围【解答】解：（）由已知列为公差为2的等差数列，又a1=1，；（）由（）知=，Tn=a1a2+a2a3+anan+1=，又，Tn随n的增大而增大，【点评】本题考查等差数列的通项公式和裂项求和，还考查了函数的单调性，裂项求和是最重要的数列求和方法这一属于中档题22已知函数f（x）=（x+a）ex，其中e是自然对数的底数，aR（）求函数f（x）的单调区间；（）当x0，4时，求函数f（x）的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】导数的综合应用【分析】（）先对函数求导，令导函数大于0得到递增区间，令导函数小于0得
27、到递减区间；（）根据（）确定的函数单调性，讨论a1与0，4的关系，得到函数f（x）在0，4上的单调性，进而可得函数f（x）的最小值【解答】解：（）因为f（x）=（x+a）ex，所以f（x）=（x+a+1）ex，令f（x）=0，得x=a1 当x变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下：x（，a1）a1（a1，+） f（x）0+f（x）故f（x）的单调减区间为（，a1）；单调增区间为（a1，+）（）由（），得f（x）的单调减区间为（，a1）；单调增区间为（a1，+）所以当a10，即a1时，f（x）在0，4上单调递增，故f（x）在0，4上的最小值为f（x）min=f（0）=a； 当0a14，即5a1时，f（x）在（0，a1）上单调递减，在（a1，4）上单调递增，故f（x）在0，4上的最小值为f（x）min=f（a1）=ea1；当a14，即a5时，f（x）在（0，4）上单调递减，故f（x）在0，4上的最小值为f（x）min=f（4）=（a+4）e4所以函数f（x）在0，4上的最小值为为f（x）min=【点评】本题考查导数知识的运用，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，要注意求极值时，导数等于0根的左右单调性的判断考查了分析解决问题的能力
