1、2012-2013学年山东省济宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1（3分）知识竞赛中给一个代表队的4人出了2道必答题和4道选答题，要求4人各答一题，共答4题，此代表队可选择的答题方案的种类为（）AABACCADCA考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题分析：本题即从6道题种选出4道题分给4个人，方法共有种，从而得出结论解答：解：本题即从6道题种选出4道题分给4个人，方法共有种，故选A点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，体现了等价转化的数学思想，属于中档题2（3分）曲线在点（1，）处切线的倾斜角为（）A1B45
2、C45D135考点：直线的倾斜角分析：本题考查的知识点为导数的几何意义及斜率与倾斜角的转化，要求曲线在点（1，）处切线的倾斜角，我们可以先求出曲线方程的导函数，并计算出点（1，）的斜率即该点的导数值，然后再计算倾斜角解答：解：y=x2y|x=1=12=1即曲线在点（1，）处切线的斜率为：1故曲线在点（1，）处切线的倾斜角为：135故选D点评：要计算曲线切线的倾斜角，其步骤为：求出曲线方程的导函数求出切点处的导数，即切线的斜率根据斜率与倾斜角的关系，求出直线的倾斜角3（3分）（2009中山模拟）函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（）AB1C0D考点：利用导数研究函数的极值专
3、题：计算题分析：题目中条件：“函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值”，利用导数，得导函数的零点是1，从而得以解决解答：解：，f（1）=0a+1=0，a=1故选B点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于基础题4（3分）将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（）A252种B112种C70种D56种考点：排列、组合的实际应用专题：计算题分析：由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生两种情况一是包括甲、乙每屋住4人、3人，二是甲和乙两个屋子住5人、2人，列出两种情况的结果，根据分类计数原理得到结果解答：解：由题意知
4、将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生包括甲、乙每屋住4人、3人或5人、2人，当甲和乙两个屋子住4人、3人，共有C73A22当甲和乙两个屋子住5人、2人，共有C72A22根据分类计数原理得到共有C73A22+C72A22=352+212=112（种）故选B点评：本题考查分类计数问题，是一个基础题，解题时主要依据是要看清楚每个宿舍至少安排2名学生两种情况，注意做到不重不漏5（3分）等于（）A0B1C2D4考点：定积分专题：计算题分析：先根据对称性，只算出0的图形的面积再两倍即可求出所求解答：解：02|sinx|dx=20sinxdx=2（cosx）|0=2（1+1）=4故选：
5、D点评：本题主要考查了定积分，对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数6（3分）函数y=1+3xx3有（）A极小值2，极大值2B极小值2，极大值3C极小值1，极大值1D极小值1，极大值3考点：利用导数研究函数的极值专题：计算题；压轴题分析：求出导函数，令导函数为0求根，判根左右两边的符号，据极值定义求出极值解答：解：y=33x2=3（1+x）（1x）令y=0得x1=1，x2=1当x1时，y0，函数y=1+3xx3是减函数；当1x1时，y0，函数y=1+3xx3是增函数；当x1时，y0，函数y=1+3xx3是减函数当x=1时
6、，函数y=1+3xx3有极小值1；当x=1时，函数y=1+3xx3有极大值3故选项为D点评：判断导函数为0的根左右两边的符号：符号左边为正右边为负的根为极大值；符号左边为负右边为正的根为极小值7（3分）二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系为（）A24B18C16D6考点：二项式定理的应用专题：计算题分析：由于二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是2=8，求得 n的值，可得它的第三项的二项式系数的值解答：解：由于二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是2=8，n=4，故它的第三项的二项式系为 =6，故选D点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项
7、公式，求展开式中某项的系数，属于中档题8（3分）（2004浙江）已知复数z1=3+4i，z2=t+i，且是实数，则实数t=（）ABCD考点：复数代数形式的乘除运算专题：常规题型；计算题分析：化简 的式子，该式子表示实数时，根据虚部等于0，解出实数t解答：解：=（3+4i）（t+i）=3t4+（3+4t）i 是实数，3+4t=0，t=故选 D点评：本题考查复数代数形式的乘法，复数为实数的充要条件是虚部等于09（3分）（2012开封二模）若的展开式中x3的系数为，则常数a的值为（）A1B2C3D4考点：二项式定理专题：计算题分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x
8、3的系数，再根据x3的系数为，求得实数a的值解答：解：由于的展开式的通项公式为 Tr+1=a9r，令 9=3，可得r=8，故展开式中x3的系数为a=，a=4，故选D点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题10（3分）若An3=6Cn4，则n的值为（）A6B7C8D9考点：组合及组合数公式；排列数公式的推导专题：计算题分析：由An3=6Cn4，利用排列数公式和组合数公式，把原式等价转化为n（n1）（n2）=6，由此能求出n的值解答：解：An3=6Cn4，n（n1）（n2）=6，整理，得n3=4，n=7故选B点评：本题考查排列数公
9、式和组合数公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化11（3分）函数y=sin（2x2+x）导数是（）Ay=cos（2x2+x）By=2xsin（2x2+x）Cy=（4x+1）cos（2x2+x）Dy=4cos（2x2+x）考点：简单复合函数的导数分析：设H（x）=f（u），u=g（x），则H（x）=f（u）g（x）解答：解：设y=sinu，u=2x2+x，则y=cosu，u=4x+1，y=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），故选C点评：牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用12（3分）从字母a，b，c，d，e，f中选出4个数字排成一列
10、，其中一定要选出a和b，并且必须相邻（a在b的前面），共有排列方法（）种A36B72C90D144考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题分析：再从剩余的4个字母中选取2个，方法有种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，根据分步计数原理求得结果解答：解：由于ab已经选出，故再从剩余的4个字母中选取2个，方法有=6种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，根据分步计数原理求得所有的排列方法共有 66=36种，故选A点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题二、填空题（每小题4分，共16分）13（4分）曲线y=lnx在点M（e，1）处的切线的斜率是 ，切线
11、的方程为 xey=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题分析：求出曲线的导函数，把切点的横坐标e代入即可求出切线的斜率，然后根据斜率和切点坐标写出切线方程即可解答：解：y=，切点为M（e，1），则切线的斜率k=，切线方程为：y1=（ye）化简得：xey=0故答案为：，xey=0点评：考查学生会根据导函数求切线的斜率，会根据斜率和切点写出切线方程14（4分）若，则实数k的值为1考点：定积分专题：计算题分析：欲求k的值，只须求出函数xk的定积分值即可，故先利用导数求出xk的原函数，再结合积分定理即可求出用k表示的定积分最后列出等式即可求得k值解答：解：01（xk）dx=（x2kx）|0
12、1=k由题意得：k=，k=1故答案为：1点评：本小题主要考查定积分的简单应用、利用导数研究原函数等基础知识，考查运算求解能力属于基础题15（4分）从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有34种考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题分析：所有的选法共有=35种，其中选出的4人全是男生的方法有1种，由此求得选出的4人中既有男生又有女生的不同的选法解答：解：所有的选法共有=35种，其中选出的4人全是男生的方法有1种，故选出的4人中既有男生又有女生的不同的选法共有351=34种，故答案为 34点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属
13、于中档题16（4分）函数y=x3+x25x5的单调递减区间是（，1）考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题分析：根据f（x）的导函数建立不等关系，可得f（0）0，建立不等量关系，求出单调递减区间即可解答：解：f（x）=3x2+2x5，由3x2+2x50可得：x（，1）故答案为：（，1）点评：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性等基础知识，考查分析和解决问题的能力三、解答题（本大题共4小题，共44分）17（8分）已知z=1+i（1）设=z2+34，求的三角形式；（2）如果，求实数a，b的值考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件专题：计算题分析：（1）把复数的具体形式代入所给的z2
14、+34，根据乘方和共轭复数，算出的值，提出复数的模长，把代数形式变化为三角形式（2）先进行复数的乘除运算，把具体的复数的值代入，整理成最简形式，得到复数相等的条件，使得复数的实部和虚部分别相等，得到关于a和b的方程组，解方程组即可解答：解：（1）由z=1+i，有=z2+34=（1+i）2+34=2i+3（1i）4=1i，的三角形式是（2）由z=1+i，有=（a+2）（a+b）i由题设条件知（a+2）（a+b）i=1i根据复数相等的定义，得解得点评：本小题考查共轭复数、复数的三角形式，复数的混合运算等基础知识及运算能力是一个综合题，解题的关键是整理过程千万不要出错18（12分）已知在（x2）n的
15、展开式中，第9项为常数项，求：（1）n的值；（2）展开式中x5的系数；（3）含x的整数次幂的项的个数考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质专题：计算题分析：（1）根据（x2）n的展开式中，第9项为常数项，而第9项的通项公式为 T9=28nx2n20，故有 2n20=0，由此解得 n=10（2）由（1）可得展开式的通项公式为 Tr+1=（1）r2r10令x的幂指数等于5，求得r的值，可得展开式中x5的系数（3）由20 为整数，可得r=0，2，4，6，8，从而得到含x的整数次幂的项的个数解答：解：（1）在（x2）n的展开式中，第9项为常数项，而第9项的通项公式为 T9=28nx2n16x4=28
16、nx2n20，故有 2n20=0，解得 n=10（2）由（1）可得展开式的通项公式为 Tr+1=2r10x202r（1）r=（1）r2r10令20=5，求得r=6，故展开式中x5的系数为=（3）由20 为整数，可得r=0，2，4，6，8，故含x的整数次幂的项的个数为5点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题19（12分）（2011深圳模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与x=2处都取得极值（）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；（）若对x2，3，不等式f（x）+cc2恒成立，求c的取值范围考点：利用导数研
17、究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明专题：计算题分析：（1）求出f（x）并令其=0得到方程，把x=1和x=2代入求出a、b即可；（2）求出函数的最大值为f（1），要使不等式恒成立，既要证f（1）+cc2，即可求出c的取值范围解答：解：（）f（x）=3x2+2ax+b，由题意：即解得，f（x）=3x23x6令f（x）0，解得1x2；令f（x）0，解得x1或x2，f（x）的减区间为（1，2）；增区间为（，1），（2，+）（）由（）知，f（x）在（，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减；在（2，+）上单调递增x2，3时，f（x）的最大值即为f（1）与f（3）中的较大者.；当x=1时
18、，f（x）取得最大值要使，只需，即：2c27+5c解得：c1或c的取值范围为点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握不等式的证明方法20（12分）（2005北京）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点（）求证ACBC1；（）求证AC1平面CDB1；（）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题：计算题；证明题分析：解法一：（1）：利用勾股定理的逆定理判断出ACBC，同时因为三棱柱为直三棱柱
19、，从而证出（2）：因为D为AB的中点，连接C1B和CB1交点为E，连接DE，D是AB的中点，E是BC1的中点，根据三角形中位线定理得DEAC1，得到AC1平面CDB1；第三问：因为AC1DE，所以CED为AC1与B1C所成的角，求出此角即可解法二：利用空间向量法如图建立坐标系，（1）：证得向量点积为零即得垂直（2）：=，与两个向量或者共线或者平行可得第三问：解答：证明：（）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，ACBC1；（）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1，DE平面C
20、DB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1；（）DEAC1，CED为AC1与B1C所成的角，在CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，cosCED=，异面直线AC1与B1C所成角的余弦值解法二：直三棱锥ABCA1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1两两垂直如图建立坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D（，2，0）（）=（3，0，0），=（0，4，4），=0，（）设CB1与C1B的交点为E，则E（0，2，2）=（，0，2），=（3，0，4），=，DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1（）=（3，0，0），=（0，4，4），cos，=，异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为点评：本题考查向量的几何意义ab=|a|b|cos；向量垂直ab=0；直线与平面的证明方法
