1、广西南宁市第四中学2020-2021学年高二数学10月段考试题（含解析）注意事项：1、答题前，考生务必将姓名，座位号，班别和考号填写在试卷和答题卡上.2、考生作答时，请在答题卡上作答，在本试题上作答无效一、选择题1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可以求出集合，然后进行交集的运算即可详解】解：，故选：2. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分
2、不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.3. 命题“，使”的否定是（ ）A. ，使B. ，使C. ，使D. ，使【答案】A【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“，使”的否定是“，使”.故选A【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改量词与结论即可，属于基础题型.4. 已知向量，若，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的数量积的定义求夹角【详解】由题意，故选：C【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握平面向量的定义是解题
3、关键5. 采购经理指数（），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用.如图为国家统计局所做的我国2018年月份的采购经理指数（）的折线图，若指数为，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的个数为（ ）2018年1至12月的指数逐月减少；2018年1至12月的指数的最大值出现在2018年5月份；2018年1至12月的指数的中位数为；2018年1月至3月的月指数相对6月至8月，波动性更大.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解
4、析】【分析】根据折线图分析极差、中位数数据得解【详解】1月到5月PMI指数有增有减，所以 错误；2018年5月的指数的最大，所以 正确；根据折线图，所以 正确；1月至3月的月指数极差为，6月至8月的月指数极差为，故1月至3月的月指数波动性更大，所以 正确；故选：C【点睛】统计中样本极差、方差体现数据波动性情况，中位数、平均数体现样本数据整体水平情况，属于基础题.6. 函数f（x）=lnx2图象是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的定义域和函数的奇偶性排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】函数是偶函数，其图象关于轴对称，故选项CD错误；当时，函数没有定义，选项
5、A错误.本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】利用函数的图象变换规律，可得结论.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得，即的图象.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数图象变换，属于基础题.8
6、. 若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值.详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质： (1). (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由求增区间；由求减区间.9. 如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.【详解】由题可
7、知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设.则.故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.故选：C【点睛】本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10. 如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设=所以当时，上式取最小值 ，选A.点睛：本题考查的是
8、平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。11. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小【详解】是R的偶函数，又在(0，+)单调递减，故选C【点睛】本题主要考查函数奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值12. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段
9、解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决【详解】时，即右移1个单位，图像变为原来的2倍如图所示：当时，令，整理得：，（舍），时，成立，即，故选B【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力二、填空题13. 设x，y满足约束条件，则的最大值为_【答案】3【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出可行域，平移直线，找到z的最大值【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：，则经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由，解得，所以的最大值为3故答案为：3【点睛】本题考查了
10、线性规划问题，求线性目标函数的最值问题，考查了画图能力利用数形结合是解决本题的关键14. 已知正实数，满足，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值【详解】，当且仅当时,即时，的最小值为故答案为：.【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是凑配出定值，方法是“1”的代换15. 在中，且，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理求得，再利用余弦定理及基本不等式得解【详解】因为，且，由正弦定理得，所以由余弦定理的（当且仅当时等号成立） 故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能熟练运用正弦定理、余弦定理、面积公式及基本不等式，
11、综合性较强.16. 关于函数，有下列命题：函数的表达式可以改写为；函数是以为最小正周期的周期函数；函数的图象关于点对称；函数的图象关于直线对称.其中正确的序号是_.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简函数,判断正误；求出函数周期判断；求出函数的对称中心判断；求出函数的对称轴判断.【详解】解：对于，所以正确；对于，最小正周期，所以不正确；对于，因为所以，为的对称中心，故正确；对于，的对称直线满足，不满足条件，所以不正确.故答案为：.【点睛】本题考查正弦函数性质，考查基本概念、基本知识的理解掌握程度，属于基础题.三、解答题17. 在ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=
12、acosB（1）求角B大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【答案】（1）B=60（2）【解析】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理18. 在中，分别是角，所对的边，已知，且.（1）求角的大小；（2）求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意得出，从而求得的值；（1）由正弦定理表示出，利用三角恒等变换与三角形内角和定理，即可求出的取值范围【详解】解：（1）由，且，得，；又，；（2）由（1）知，则，；，又，周长的取值范围【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“
13、角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19. 数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依题意可得数列是以为首项，为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式计算可得；（2）由题意可得，再利用裂项相消法计算可得；【详解】解：（1）因为，所以所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以所以（2）由（1）得，所以设数列的前项和为，则【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相
14、关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和20. 已知数列的前项和为，其中，（）.（1）求数列的通项公式：（2）设数列的前项和为，求满足不等式的值.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）首先根据，得到，数列是首项为1，公比为的等比数列，再求的通项公式即可.（2）根据题意得到数列是首项为1，公比为的等比数列，再计算后解不等式得解.【详解】（1）由，知当时，即，得，.数列是首项为1，公比为的等比数列.（2）数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列是首项为1，公比为等比数列，.,化简得所以或【点睛】递推关系求
15、通项时注意条件，熟记等比数列求和公式为解题的关键，属于中档题.21. 2017年“十一”期间，高速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段： ， ， ， ， ， ，后得到如图的频率分布直方图（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆恰有一辆的概率【答案】（1）众数的估计值等于775 中位数的估计值为775（2）【解析】试题分析; （1）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积
16、和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数（2）从图中可知，车速在 的车辆数和车速在 的车辆数从车速在 的车辆中任抽取2辆，设车速在 的车辆设为 车速在 的车辆设为 列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可试题解析：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5，设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：，解得即中位数的估计值为（2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），车速在的车辆数为：（辆），设车速在的车辆设为，车速在的车辆设为，则所有基本事件有：，共15种，其中车速在的车辆恰有一辆的事件有：，共8种所以，
17、车速在的车辆恰有一辆的概率为【点睛】本题考查率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和等知识此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视22. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E为PD的中点，点F在PC上，且（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由【答案】()见解析；() ；()见解析.【解析】【分析】()由题意利用线面
18、垂直的判定定理即可证得题中的结论；()建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；()首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.【详解】()由于PA平面ABCD，CD平面ABCD，则PACD，由题意可知ADCD，且PAAD=A，由线面垂直的判定定理可得CD平面PAD.()以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，由可得点F的坐标为，由可得，设平面AEF的法向量为：，则，据此可得平面AEF的一个法向量为：，很明显平面AEP的一个法向量为，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.()易知，由可得，则，注意到平面AEF的一个法向量为：，其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.
