1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.根据确定直线位置的几何要素,探索直线的两点式及一般式方程.2.掌握直线方程的两点式、截距式和一般式,并会熟练应用.3.会选择适当的方程形式求直线方程4.掌握一般式与其他形式之间的相互转化.5.培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习 新知导学一、直线的两点式方程【问题思考】1.我们知道两点确定一条直线,如果已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2),那么如何求经过这两点的直线的方程?2.从直线的两点式方程的形式上看,两点式方程适用于求什么样的直线的方程?提示:两点式适用
2、于求与两坐标轴不垂直的直线的方程.3.填表:直线的两点式方程4.在P1(x1,y1),P2(x2,y2)中,如果x1=x2或y1=y2,那么直线P1P2没有两点式方程.当x1=x2时,直线P1P2垂直于x轴,直线方程为x-x1=0,即x=x1;当y1=y2时,直线P1P2垂直于y轴,直线方程为y-y1=0,即y=y1.5.做一做:过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-1=0答案:D 二、直线的截距式方程【问题思考】1.已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a0,b0,如何求直线l的方程?2
3、.从直线的截距式方程的形式上看,截距式方程适用于求什么样的直线的方程?提示:截距式适用于求与两坐标轴不垂直以及不过原点的直线的方程.3.填表:直线的截距式方程4.做一做:过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是()答案:C 三、直线的一般式方程【问题思考】提示:它们都是关于x,y的二元一次方程.2.平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗?为什么?提示:都可以.原因如下:任意一条直线l,在其上任取一点P0(x0,y0),当直线l的斜率为k时(此时直线的倾斜角90),其方程为y-y0=k(x-x0),这是关于x,y的二元一次方程.当直线l的斜率不存在,即直
4、线l的倾斜角=90时,直线的方程为x-x0=0,可以认为是关于x,y的二元一次方程,此时方程中y的系数为0.方程y-y0=k(x-x0)和x-x0=0都是二元一次方程,因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.3.任意一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示一条直线吗?为什么?4.填空:我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.5.做一做:过点A(-1,2),斜率为2的直线的一般式方程为.答案:2x-y+4=0【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内
5、画“”,错误的画“”.(3)能用两点式写出的直线方程,也可以用点斜式方程写出.()(4)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线.()(5)直线的其他形式的方程都可化为一般式.()(6)关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)一定表示一条直线.()合作探究 释疑解惑探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一直线的两点式方程【例1】三角形的三个顶点是A(-1,0),B(3,-1),C(1,3),求三角形边AB、边BC所在直线的方程.分析:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.探究一探究二探究三探究四易错辨析本题条件不变,求边AB上的中线CD所在直线的方程.由于
6、C,D两点横坐标相同,所以CD所在直线的方程为x=1.反思感悟 用两点式方程写出直线的方程时,要特别注意:当横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.探究一探究二探究三探究四易错辨析【变式训练1】求经过下列两点的直线方程.(1)A(3,1),B(4,0);(2)A(2,1),B(3,1);(3)A(2,1),B(2,-1).(2)由于A,B两点的纵坐标相等,故直线垂直于y轴,所求直线的方程为y=1.(3)由于A,B两点的横坐标相等,故直线垂直于x轴,所求直线的方程为x=2.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究二直线的截距式方程【例2】直线l经过点P(-6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上截距
7、的3倍,求直线l的方程.分析:设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距为3b.因为截距可正、可负、可为零,所以应分b=0和b0两种情况解答.解:当直线在y轴上的截距为零时,直线过原点,可设直线l的方程为y=kx.直线l过点P(-6,3),探究一探究二探究三探究四易错辨析当直线在y轴上的截距不为零时,综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0.反思感悟 当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m0)”等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑“零截距”的情况.探究一探究二探究三探究四易错辨析【变式训
8、练2】已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为.解析:设直线l在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距也为a.若a=0,则直线l过原点,此时直线l的方程为2x+3y=0;所以直线l的方程为x+y=1,即x+y-1=0.综上可知,直线l的方程为x+y-1=0或2x+3y=0.答案:x+y-1=0或2x+3y=0探究一探究二探究三探究四易错辨析探究三直线的一般式方程【例3】根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式.(1)斜率是 ,且经过点A(5,3);(2)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;(3)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.分析:根据条件,选择恰当
9、的直线方程的形式,最后化成一般式方程.探究一探究二探究三探究四易错辨析反思感悟 利用直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式求解直线的方程时,一定要注意每种方程形式的适用范围,要注意对斜率是否存在,截距是否为0进行分类讨论,最后将方程转化为一般式.探究一探究二探究三探究四易错辨析【变式训练3】(1)求经过点(1,2),且与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程;(2)求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.解:(1)(方法一)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k.(方法二)设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0.直线l经过点(1,2)
10、,31+42+m=0,解得m=-11.直线l的方程为3x+4y-11=0.探究一探究二探究三探究四易错辨析(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k.直线l与直线2x+y-10=0垂直,探究一探究二探究三探究四易错辨析探究四直线的平行与垂直问题【例4】(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值;(2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?解:(1)(方法一)直线l1:2x+(m+1)y+4=0,l2:mx+3y-2=0.当m=0时,显然l1与l2不平行.解得m=
11、2或m=-3.m的值为2或-3.探究一探究二探究三探究四易错辨析(方法二)当m=-1时,直线l1:x=-2,l2:x-3y+2=0,l1不平行于l2.解得m=2或m=-3.m的值为2或-3.探究一探究二探究三探究四易错辨析(2)当1-a=0,即a=1时,直线l1:3x-1=0与直线l2:5y+2=0,显然垂直;综上可知,当a=1或a=-1时,直线l1l2.反思感悟 与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(mC),与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.探究一探究二探究三探究四易错辨析【变式训练4】已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(
12、a-1)y+a2-1=0.(1)若l1l2,求a的值;(2)在(1)的条件下,若直线l3经过点A(1,-3),且l3l2,求直线l3的方程.探究一探究二探究三探究四易错辨析l3l2,可设直线l3的方程为3x-y+m=0,l3经过点A(1,-3),31-(-3)+m=0,解得m=-6.直线l3的方程为3x-y-6=0.探究一探究二探究三探究四易错辨析【易错辨析】因转化条件不等价而致误【典例】已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,若l1l2,求m的值.错解:由13-m(m-2)=0,得m=-1或3.以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
13、提示:因存在斜率的两直线平行的等价条件为斜率相等且截距不等,所以上述解法忽略检验截距是否相等.正解:由13-m(m-2)=0,得m=-1或3.当m=-1时,l1:x-y+6=0,l2:3x-3y+2=0,两条直线平行;当m=3时,l1:x+3y+6=0,l2:x+3y+6=0,两条直线重合.故m的值为-1.探究一探究二探究三探究四易错辨析防范措施 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,则A1B2-A2B1=0l1l2或l1与l2重合.所以,由A1B2-A2B1=0求出参数值后,需检验两条直线是否重合.探究一探究二探究三探究四易错辨析【变式训练】已知直线l1
14、:(a-1)x-2y+4=0与直线l2:x-ay-1=0平行,则实数a的值为.解析:由(a-1)(-a)-(-2)1=0,得a=-1或a=2.当a=-1时,l1:x+y-2=0,l2:x+y-1=0,l1l2;当a=2时,l1:x-2y+4=0,l2:x-2y-1=0,l1l2.故a=-1或a=2.答案:-1或2随堂练习1.经过点(2,4),(2,-7)的直线的方程是()A.x=2B.y=2C.x+y=-3D.x+y=4解析:(2,4),(2,-7)两点的横坐标相同,故直线垂直于x轴,直线方程为x=2.答案:A2.经过A(0,3),B(-2,0)两点的直线的截距式方程为()答案:D3.若直线x+2ay-1=0与直线(a-1)x-ay+1=0平行,则a的值为()答案:A4.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为;化为截距式为.5.已知ABC的三个顶点坐标为A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),(1)求边BC所在直线的方程;(2)求边BC上的中线所在直线的方程.解:(1)边BC所在直线经过B(5,-4),C(0,-2)两点,
